Pyramidiongelman ratkaisu |
1. ratkaisu:
Särmien ja tason leikkauspisteiden etäisyydet pyramidin kärjestä ovat a, b, c
ja d. Merkitään näitä pituuksia vastaavia vektoreita (kärjestä lukien)
kirjaimin A, B, C ja D. Kulmat (A,B), (B,C), (C,D) ja (D,A) ovat yhtä suuret.
Olkoon tämän kulman sini = sin(.).
Vektoritulot AxB, CxD, BxC ja DxA suuntautuvat pyramidin sisään ja niiden
sekä vektorituloon kuulumattomien särmien väliset terävät kulmat ovat
yhtäsuuret, koska pyramidi on säännöllinen. Olkoon tämän kulman kosini =
cos(..). Tarkasteltavan pyramidin osan 6-kertainen tilavuus voidaan lausua
skalaarikolmitulojen AxB*C ja CxD*A summana. Toisaalta
6-kertainen tilavuus on myös BxC*D + DxA*B.
Näin saadaan yhtälö
AxB*C + CxD*A = BxC*D + DxA*B
Skalaarikolmitulot voidaan kirjoittaa eksplisiittisempään muotoon:
abc*sin(.)cos(..) + cda*sin(.)cos(..) = bcd*sin(.)cos(..) +
bcd*sin(.)cos(..).
Jakamalla yhtälö puolittain tulolla abcd*sin(.)*cos(..) saadaan
kysytty yhtälö
1/a + 1/c = 1/b + 1/d
1/a + 1/c = 1/b + 1/d
2.ratkaisu:
Vektorien A, B, C ja D kärjet ovat samassa tasossa, joten
skalaarikolmitulo
(B - A)x(C - A)*(D - A) = 0.
Vektori- ja skalaaritulon laskusääntöjä käyttäen saadaan yhtälö
AxB*C + CxD*A = BxC*D + DxA*B.
Tästä jatketaan, kuten 1. ratkaisussa.
(B - A)x(C - A)*(D - A) = 0.
AxB*C + CxD*A = BxC*D + DxA*B.
070396 M.H.