Platonin monitahokkaat

Monitahokasta sanotaan säännölliseksi, jos se on kupera (mitkä tahansa kaksi sisäpistettä voidaan yhdistää janalla, joka on kokonaan monitahokkaan sisällä), jos sen kaikki tahkot ovat yhteneviä ja jos jokainen monitahokkaan kärki on yhteinen samalle määrälle tahkoja. Säännöllisiä monitahokkaita, joita kutsutaan myös Platonin monitahokkaiksi, on olemassa vain alla näkyvät viisi kappaletta. Tämän asian todistus sisältyy Euklideen Elementa-teoksen kolmanteentoista kirjaan ja on koko kyseisen teoksen huipentuma. Käymme lyhyesti läpi asian perustelun.

Platonin kappaleet: Tetraedri, Heksaedri, Oktaedri, Dodekaedri ja Ikosaedri.

Monitahokkaan jokainen kärkipiste on yhteinen vähintään kolmelle eri tahkolle, jotka ovat säännöllisiä monikulmioita. Jos määrättyyn kärkeen liittyvät tahkot irroitetaan kappaleesta, leikataan auki yhtä särmää pitkin ja levitetään tasoon, on näin saatavan kulman oltava pienempi kuin 360 astetta. Täten ainoastaan seuraavat viisi tapausta ovat mahdollisia:

  1. jokainen kärki on yhteinen kolmelle tasasivuiselle kolmiolle,
  2. jokainen kärki on yhteinen neljälle tasasivuiselle kolmiolle,
  3. jokainen kärki on yhteinen viidelle tasasivuiselle kolmiolle,
  4. jokainen kärki on yhteinen kolmelle neliölle ja
  5. jokainen kärki on yhteinen kolmelle säännölliselle viisikulmiolle.

Tähän listaan voidaan päätyä täsmällisemminkin: jokainen tahko on p-kulmio (p>2), jokainen kärki on yhteinen q:lle tahkolle (q>2) ja ylläkuvattu tasoon levitetty kulma on pienempi kuin täysikulma. Johda tästä epäyhtälö ja etsi sen kokonaislukuratkaisut (p,q).

Pidämme kappaleiden olemassaoloa annettuna tosiasiana ja katsomme Eulerin kaavan avulla, miten voidaan päätellä kappaleiden tahkojen, kärkien ja särmien lukumäärät. On helppo nähdä, että kuudesta neliöistä muodostuu kuutio ja että neljästä tasasivuisesta kolmiosta muotoutuu tetraedri, mutta voi olla hankalampi tajuta, kuinka monta viisikulmiota tarvitaan monitahokkaan muodostamiseksi. Olkoon tahkoja T kappaletta. Koska joka tahkossa on viisi sivua ja jokainen särmä on yhteinen kahdelle tahkolle, on särmien määrä S = 5*T/2. Koska jokaisessa tahkossa on viisi kärkeä ja jokainen tahokkaan kärki on yhteinen kolmelle tahkolle, on kärkien lukumäärä K = 5*T/3. Sijoittamalla nämä Eulerin kaavaan T -S+ K = 2, saadaan T = 12. Kärkien määrä on K = 5*12/3 = 20 ja särmiä on S = 5*12/2 = 30; kappale on säännöllinen 12-tahokas eli dodekaedri.

Jokaisella Platonin kappaleella on ns. duaalinen kappale, joka saadaan aikaan yhdistämällä sivutahkojen painopisteet lähinnäolevien tahkojen painopisteisiin. Duaaliset kappaleet ovat myös säännöllisiä monitahokkaita. Laadi taulukko Platonin kappaleiden tahkojen, särmien ja kärkien lukumääristä ja päättele siitä, mikä on minkäkin duaalinen kappale.

Matemaatikoita Platonin kappaleet kiinnostavat symmetrioittensa takia. Kappaleilla on lukuisia symmetria-akseleita, joiden ympäri voidaan suorittaa kiertoja niin, että kierretyt kappaleet yhtyvät alkuperäisiin kappaleisiin. Kiertoja voidaan yhdistellä ja ne muodostavat järjestelmiä, joita matematiikassa kutsutaan ryhmiksi. Ryhmäteoria syntyi 1800-luvulla ja ryhmät ovat osoittautuneet yhdeksi kaikkein tärkeimmistä matemaattisista käsitteistä. Ne sukeutuvat esiin mitä merkillisimmissä yhteyksissä sekä matematiikassa että uudemmassa fysiikassa. Platonin kappaleiden pyörittely havainnollistaa eräitä äärellisiä ryhmiä. Jotkut matemaatikot kutsuvatkin Platonin kappaleita symmetriaryhmiensä varjoiksi! Lisää tietoa ryhmistä löytyy Spectrum-tietokirjan algebra-artikkelista. Tutustu myös matemaattiseen multimediaan ja ryhmäteorian historiaan.

Fulleriinit

Noin kymmenen vuotta sitten löydettiin eräästä tähtien välisestä pölypilvestä molekyylejä, joiden spektroskooppinen analyysi osoitti koostuvan tasan 60:stä hiiliatomista. Tuolloin tunnetut hiilen allotrooppiset muodot, timantti ja grafiitti, eivät kelvanneet selityksiksi, sillä niissä voi olla hiiltä vaihteleva määrä. Grafiitti on tasomainen, säännöllisistä 6-kulmioista koostuva rakennelma. Jos 6-kulmioita korvataan 5-kulmioilla, taso käyristyy ja tietyllä määrällä 5-kulmioita se sulkeutuu monitahokkaaksi. Tutkijat löysivät molekyylin muodon teippaamalla kartongista leikattuja 5- ja 6-kulmioita yhteen. Tulos osoittautui tavallisen jalkapallon näköiseksi 60-kärkiseksi monitahokkaaksi. Eulerin monitahokaskaavan tunteminen olisi ehkä nopeuttanut molekyylin muodon keksimistä muutamalla tunnilla! Molekyyli nimettiin fulleriiniksi Fuller-nimisen arkkitehdin mukaan, joka oli jo 60-luvulla rakentanut kyseisen monitahokkaan muotoisia rakennuksia. Laske Eulerin kaavaa soveltaen, kuinka monta 5- ja 6-kulmioita on kyseisessä molekyylissä. Mitkä muut hiiliatomien lukumäärät ovat teoreettisesti mahdollisia, kun oletetaan sivutahkot 5- ja 6-kulmioiksi? Voisiko 60-kärkisen monitahokkaan rakentaa 4-kulmioista ja 6-kulmioista? Entä 4-kulmioista ja 5-kulmioista? Fulleriinin löytäjät Robert Curl, Harold Kroto ja Richard Smalley ja saivat Nobelin kemian palkinnon vuonna 1996.

181295 M.H.