Pickin kaava

Matematiikan taito 3:ssa (W&G) esitellään tutkimustehtävänä Pickin kaava, jonka avulla lasketaan ruutupaperille piirrettyjen monikulmioiden aloja. Monikulmiolla tarkoitetaan tässä itseään leikkaamattoman sulkeutuvan murtoviivan rajaamaa aluetta, jonka kärjet osuvat ruutuviivojen leikkauspisteisiin. Näitä leikkauspisteitä kutsutaan jatkossa yksinkertaisesti pisteiksi. Pickin kaavan mukaan monikulmion pinta-ala on

I on monikulmion sisäpisteiden lukumäärä ja R on monikulmion reunalla olevien pisteiden lukumäärä. Georg Aleksander Pick julkaisi kaavan vuonna 1899. Allaoleva klassisen induktiotodistuksen jäsennys on peräisin Kristian Ranestadin (Oslon yliopisto) artikkelista Normatissa 3/1995.

Tutkitaan aluksi ylläolevassa kuvassa esiintyvät perustapaukset:

1. Todista kaava oikeaksi suorakulmiolle, jonka sivut yhtyvät ruutuviivoitukseen.
(Sivujen pituudet a ja b.)

2. Todista kaava oikeaksi suorakulmaiselle kolmiolle, jonka kateetit yhtyvät ruutuviivoitukseen ja jonka hypotenuusalla ei ole pisteitä. (Kateetit a ja b.)

Kaikki mahdolliset monikulmiot voidaan rakentaa kohtien 1 ja 2 peruskuvioista joko liittämällä niitä yhteen tai leikkaamalla pois peruskuvion kaltaisia osia. Todistus on valmis, jos saadaan osoitetuksi kohtien 3 ja 4 induktioaskeleet.

3. Olkoon P' ja P'' kaksi monikulmiota, joille kaava pätee. Olkoon edelleen P':ssa ja P'':ssa sisä- ja reunapisteitä I', I'', R' ja R'' kappaletta sekä yhteisiä reunapisteitä Y kappaletta. Järkeile summakuvion P = P' + P'' sisä- ja reunapisteiden lukumäärät ja osoita kaava oikeaksi summalle P.

4. Käytetään samoja merkintöjä kuin kohdassa 3. Järkeile sisä- ja reunapisteiden lukumäärä erotuskuviolle P = P' - P'' ja todista kaava oikeaksi erotukselle P.
(Kuvassa poisleikattava kuvio P'' on keltainen.)

MH191296