Pascalin kolmio |
Tutustumme osaan Pascalin kolmion ihmeellisistä ominaisuuksista. Kolmio oli tunnettu jo satoja vuosia ennen Pascalia, mutta se on nimetty hänen mukaansa, koska Pascal löysi siitä paljon uusia ominaisuuksia todennäköisyyslaskennan perusteita kehittäessään. Osa tässä käsiteltävistä asioista käydään läpi pitkän matematiikan 9. ja 10. kurssilla (tn-laskenta sekä lukujonot), mutta jos esim. matematiikkakilpailujen tai muun harrastuneisuuden takia haluat opiskella nämä perusteet ennen mainittujen kurssien läpikäymistä, onnistunee se allaolevan tekstin avulla. Oletetaan kuitenkin, että lukija on nähnyt Pascalin kolmion ja osaa rakentaa sen rivi kerrallaan.
Kerrataan aluksi eräitä kombinatoriikan peruskäsitteitä ja merkintöjä. Tarvitsemme tässä myös täydellistä induktiota, joten käy se ensin läpi, jos et tunne asiaa.
Positiivisen kokonaisluvun n kertoma on tulo 1*2*...*(n-1)*n; n-kertoma merkitään lyhyesti n!. Erikseen sovitaan, että 0! = 1 ja 1! = 1. Tuloperiaatteen avulla on helppo todistaa, että n oliota voidaan järjestää jonoon n! eri tavalla. Esimerkiksi tyhjästä joukosta saadaan tasan yksi jono, joka on tyhjä jono; 0! = 1. Jonoja kutsutaan joukon permutaatioiksi ja järjestämistä vastaavasti permutoinniksi.
n-alkioisen joukon k-permutaatioiksi kutsutaan kyseisestä joukosta muodostettuja k alkiota käsittäviä jonoja; 0 =< k =< n. Näitä k-permutaatioita on (n)k = n*(n-1)*...*(n-k+1) kappaletta. Laskimissa on (n)k:n laskemiseksi nPr-nappula.
n-alkioisen joukon k-kombinaatioiksi kutsutaan joukon k alkiota käsittäviä osajoukkoja. Kombinaatioiden lukumäärä saadaan jakamalla k-permutaatioiden lukumäärä (n)k k-kertomalla; k-kombinaatioiden lukumäärä merkitään symbolisesti (nk). (Laskimissa nCr.) Oikeastaan n:n ja k:n tulisi olla samassa linjassa allekkain, mutta HTML ei anna siihen mahdollisuutta. Laventamalla mainittu osamäärä luvulla (n-k)!, saadaan
(nk) = n!/(k!(n-k)!) |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
|
|
 |
|
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
Välittömästi nähdään, että väite pitää paikkansa ainakin kolmion laidoilla: (n0) = (nn) = 1. Myös symmetria (nk) = (nn - k) on helppo havaita. Ratkaisevaa on kuitenkin induktioaskeleen todistaminen eli että luvut (nk) toteuttavat Pascalin kolmion yhteenlaskuominaisuuden. Päättele mitkä kaksi alkiota (n - 1):llä rivillä sijaitsevat (nk):n yläpuolella ja osoita, että niiden summa on (nk).
Pascalin kolmio liittyy tunnetulla tavalla binomin potensseihin:
Binomikaavan takia Pascalin kolmion lukuja sanotaan myös binomikertoimiksi. Laadi binomikaavalle induktiotodistus. Tämä on strategisesti tärkeä todistus, sillä binomikaava on eittämättä yksi matematiikan kulmakivistä.
Tässä eräitä muita aiheeseen liittyviä pikku ongelmia:
Osoita, että Pascalin kolmion n:nnen rivin lukujen summa on 2n.
Osoita, että
(n0) - (n1) + (n2) + ... + (-1)k(nk) + ... + (-1)n(nn) = 0.
Osoita, että
Ohje: Tutki identiteettiä (1 + x)2n = (1 + x)n(1 + x)n. (Voihan tuolle tosin kehittää kombinatorisenkin todistuksen.)(n0)2 + (n1)2 + (n2)2 + ... + (nn)2 = (2nn).
Erään vuoden matematiikkakilpailussa oli seuraava kysymys: Pascalin kolmion eräällä rivillä on kolme peräkkäistä lukua x, y ja z siten, että x:y:z = 1:2:3. Määritä luvut ja niiden paikat. (Vast:1001:2002:3003.)
Katso myös Gnedenkon ongelma.
040297 MH