Pallogeometriaa

Tavallinen pallopinta lienee tutuin ympäristö, jonka luonnollinen geometria poikkeaa koulussa opiskeltavasta euklidisesta tasogeometriasta. Pinnalla ei ole suoria tavallisessa mielessä, mutta jos sovitaan, että pallon isoympyröitä kutsutaan suoriksi, voimme määritellä pisteiden ja suorien välisiä suhteita ja saada aikaan eräänlaisen geometrian, jossa esimerkiksi kahden pisteen välinen lyhin etäisyys on pisteiden kautta kulkevan isoympyrän kaari. Voidaan osoittaa, että yhtä lukuunottamatta kaikki tavallisen tasogeometrian aksioomat, kuten esimerkiksi "kaksi pistettä määräävät yksikäsitteisesti suoran", toteutuvat tässä geometriassa. Se yksi, joka ei toteudu, on yhdensuuntaisuusaksiooma. Euklidisessa tasogeometriassa yhdensuuntaisuusaksiooma sanoo, että suoralle kuulumattoman pisteen kautta voidaan asettaa tasan yksi suora, joka ei kohtaa ensinmainittua suoraa. Pallon pinnalla mitkä tahansa kaksi eri suoraa leikkaavat kahdessa pisteessä. Leikkauspisteet ovat pallon halkaisijan päätepisteitä.

Tasogeometrian yhdensuuntaisuusaksioomasta seuraa välittömästi, että tasokolmion kulmien summa on oikokulma. Pallon pinnallakin on kolmioita, mutta niiden kulmasumma ei ole vakio, vaan riippuu tutkittavan kolmion alasta. Käymme seuraavassa tutkimaan tätä merkillistä seikkaa.

Olkoon pallon säde R ja pallon pinnalla olevan isoympyröiden rajaaman punaisen pallokolmion kulmat radiaaneissa A, B ja C. Johdamme yhtälön pallon säteen R, kolmion pinta-alan X ja kulmien A, B ja C välille.

Kaksikulmioiden ABA'CA, BCB'AB ja CAC'BC alat ovat 2*A*R², 2*B*R² ja 2*C*R². (Janat AA', BB' ja CC' ovat pallon halkaisijoita.) Etualalla olevan puolipallon pinta-ala on 2*Pi*R². Koska kolmiot AB'C' ja A'BC ovat yhtenevät, on puolipallon ala myös

2*A*R² + 2*B*R² + 2*C*R² - 2*X.

Laskettaessa yhteen 2-kulmioiden aloja tulee kolmion ala lasketuksi kolmeen kertaan. Tämän vuoksi summasta vähennetään 2*X. Kun pinta-alat merkitään yhtäsuuriksi ja saatu yhtälö jaetaan puolittain 2*R²:llä, saadaan pallogeometrian peruslause:

Tätä yhtälöä Sir Michael F. Atiyah, eräs aikamme merkittävimmistä matemaatikoista, sanoo alkeisgeometrian tärkeimmäksi tulokseksi, ja se onkin herkullinen analysoitava. Jos tarkastellaan hyvin pientä kolmiota, on suhde X/R² lähellä nollaa ja kolmion kulmien summa on noin Pi. Tämä tarkoittaa, että pallon pinnalla pienissä alueissa vallitsee suunnilleen euklidinen tasogeometria, jossa kolmion kulmien summa on tasan Pi. Tämä on tunnettua - Maata on luultu pannukakuksi ja ihminen tekee tasomaisia karttoja ympäristöstään. Merkillisempi asia on, että yhtälö osoittaa selvästi pallopinnan kaareutuvuuden olevan pinnan sisäinen ominaisuus, mikä tarkoittaa sitä, että pallon säde voidaan yhtälön mukaan laskea pelkästään pinnalla tehtyjen mittausten perusteella; pinnalla asuvat kaksiulotteiset matemaatikot osaavat mitata kolmion kulmat sekä pinta-alan, mikä riittää kaareutuvuussäteen laskemiseen! Tämä on merkittävä matemaattinen ajatus, jonka Gauss ja Riemann kehittivät 1800-luvun puolessa välissä nykyisin Riemannin geometriana tunnetuksi matematiikan haaraksi. Sillä on merkittävä osa myös uudemman fysiikan matemaattisessa muotoilussa. Erittäin mielenkiintoinen ja maallikollekin ymmärrettävä Sir Michael F. Atiyahin artikkeli tästä aiheesta sisältyy Osmo Pekosen toimittamaan, Art Housen julkaisemaan kokoelmaan "Symbolien metsässä".

151295 M.H.