Luonnollisen logaritmin kantaluku e, Neperin luku, määritellään
lukujonon (an),
an = (1 + 1/n)n,
raja-arvona. Kouluopetuksessa tämä raja-arvo ymmärrettävistä syistä
käsitellään ylimalkaisesti. Seuraava hieman tarkempi esitys Neperin
luvun olemuksesta vaatii lukijalta matematiikan 10.:nnen kurssin
asiasisältöjen hallintaa. Aluksi muutama perusasia kertaukseksi.
1: Lukujonon (an) raja-arvo on a, jos jokaisen avoimen välin
]a-r,a+r[, r > 0, ulkopuolella on korkeintaan äärellinen määrä jonon
termejä. Jos jonolla on raja-arvo, niin jonoa sanotaan suppenevaksi.
Muussa tapauksessa jono hajaantuu.
2: Jono on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa reaaliluku M siten,
että jonon jokainen termi on korkeintaan yhtäsuuri kuin M.
3: Jokainen kasvava, ylhäältä rajoitettu jono on suppeneva.
Lause: Lukujonoilla (an) ja (bn),
an = (1 + 1/n)n,
bn = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n!,
on yhteinen raja-arvo, joka on Neperin luku e.
Tod: Tutkitaan aluksi b-jonoa, joka selvästi on aidosti kasvava.
Se on myös ylhäältä rajoitettu, sillä
bn = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3!... + 1/n! <
< 1 + 1 + (1/2) + (1/2)2 + ... + (1/2)n-1 =
= 3 - (1/2)n-1 < 3.
Kutsutaan b-jonon raja-arvoa jo tässä vaiheessa e:ksi; äskeinen laskelma
osoittaa, että 2 < e < 3. Olkoon r > 0 mielivaltaisesti valittu positiivinen
luku. On olemassa kokonaisluku k siten, että bk > e - r/2 ja,
koska b-jono on aidosti kasvava, kuuluu bn väliin ]e-r/2,e],
kun n > k.
Todistetaan, että tietystä n:n arvosta alkaen jokainen a-jonon termi kuuluu
väliin ]e - r,e]. Tämä osoittaa, että myös a-jono suppenee kohti lukua e.
Kehitetään a-jonon termi an binomiteoreeman avulla (suorita
paperilla välivaiheet):
an = 1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + .. + (1-1/n)..(1-(k-1)/n)/k! +
+ ....+(1-1/n)(1-2/n)...(1-(n-1)/n)/n!.
Tästä nähdään, että a-jono on aidosti kasvava, sillä n:n kasvaessa
sulkulausekkeiden positiiviset sisällöt kasvavat kohti ykköstä ja lisäksi
positiivisten yhteenlaskettavien lukumäärä kasvaa. Lisäksi nähdään,
että kaikilla n:n arvoilla an < bn < e.
Olkoon nyt n suurempi kuin se k, jolle bk > e - r/2.
Katkaisemalla an:n kehitelmä, saadaan arvio
an > 1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + .. + (1-1/n)..(1-(k-1)/n)/k!.
Epäyhtälön oikealla puolella oleva summa lähestyy selvästi lukua bk n:n
kasvaessa, joten on olemassa niin suuri kokonaisluku n, että
an > bk - r/2.
Tästä n:n arvosta alkaen kaikki a-jonon termit sijaitsevat lukujen
bk - r/2 ja e välissä, joten äärellistä määrää lukuunottamatta
kaikki a-jonon termit kuuluvat väliin ]e - r,e]. (Ks. alla oleva lukusuora.)
e - r ak e - r/2 e
-------------|-----|-----|--------|-----|--------------|-------->x
bk-r/2 bk
Siis myös a-jono suppenee kohti lukua e, joka täten on Neperin luku.///
Todistuksesta seuraa erityisesti, että e voidaan esittää päättymättömänä
summana:
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + .... .
Sarja suppenee nopeasti ja sen avulla e voidaan laskea mielivaltaisella
tarkkuudella.
Sarjan avulla voidaan myös todistaa e irrationaaliseksi:
Aluksi saadaan
0 < e - (1 + 1/1! + ... + 1/n!) = 1/(n+1)! + 1/(n+2)! + ... ,
josta seuraa arvio
0 < e - (1 + 1/1! + ... + 1/n!) < {(n+1)-1 + (n+1)-2 +...}/n!,
ja edelleen (suorita välivaiheet paperilla)
0 < e - (1 + 1/1! + ... + 1/n!) < 1/(n*n!).
Jos e olisi rationaaliluku p/q, (p ja q > 1), saataisiin sijoittamalla n = q
0 < p/q - (1 + 1/1! + ... + 1/q!) < 1/(q*q!).
Kertomalla epäyhtälöketjun jäsenet luvulla q! saadaan edelleen
0 < p(q-1)! - q!(1 + 1/1! + ... + 1/q!) < 1/q < 1.
Mikä ristiriita tähän sisältyy?
Harjoitustehtäviä:
1. Laske jonon (cn),
cn = (1 - 1/n)n,
raja-arvo. Vihje: Funktio f(x) = 1/x on määrittelyjoukossaan jatkuva.
2. Laske lukujonon (dn),
dn = {(n-1)/(n+1)}n,
raja-arvo.
3. Todista, että (1 + 1/x)x ---> e, kun x lähestyy +/- ääretöntä.
Ohje: x voidaan sulkea väliin [n,n+1[.
4. Merkitään
S(x) = x(1 + x2(1 + x3(1 + x4(1 + ...)).
Osoita, että S(1/n) on irrationaaliluku kaikilla kokonaisluvuilla n > 1.
(Olympiavalmennus-98)
031298 mh
