Täydellinen induktio

Induktio käydään läpi pitkän matematiikan kymmenennessä kurssissa, mutta jos matematiikkakilpailun tai muun harrastuksen vuoksi haluat oppia asian ennen mainitun kurssin opiskelua, voit lueksia sen tästä. Induktion lienee keksinyt Pascal 1600-luvun alkupuolella.

Käymme läpi induktiotodistuksen juonen todistamalla, että tasossa olevan n-kulmion kulmien summa on n-2 oikokulmaa. Todistuksen rakenne on tässä todistettavaa asiaa oleellisempi ja esimerkki on harkiten valittu niin, että mikään laskutekninen vaikeus ei pääse hämärtämään todistuksen ideaa.

Kulman suuruus on kätevintä ilmoittaa radiaaneissa, joten kertaamme ensin radiaanin määritelmän. Kun kulman kärki keskipisteenä piirretään ympyrä, jonka säde on 1, on kulman kylkien väliin jäävän kaaren pituus = kulman suuruus radiaaneissa. Esimerkiksi täyden kulman suuruus on 2*, oikokulman suuruus on , etc.

Ja sitten itse todistukseen, joka jakautuu kolmeksi osioksi:

1.

Väite on triviaalisti tosi, kun n = 3. Sekä kupera että kovera nelikulmio voidaan alla olevan kuvan osoittamalla tavalla jakaa kahdeksi kolmioksi, joten nelikulmion kulmien summa on 2* = (4 - 2)*.

2.

Todistetaan, että jos väite on tosi n:n arvolla k - 1, se on tosi myös n:n arvolla k. Olkoon A(1),A(2),..,A(k) mielivaltainen tasossa oleva k-kulmio. Kulmiosta löytyy kolme peräkkäistä kärkeä A(p-1), A(p) ja A(p+1) alla olevan kuvan osoittamalla tavalla.

Yhdistämällä kärjet A(p-1) ja A(p+1) saadaan (k - 1)-kulmio, jonka kulmien summa oletuksen mukaan on (k - 1 - 2)*. Alkuperäisen k-kulmion kulmien summa on täten (k - 1 - 2)* + = (k - 2)*, eli väite on tosi n:n arvolla k.

3.

Päätellään seuraavasti: Koska väite on tosi n:n arvolla 3 ja 4, on se kohdan 2 mukaan tosi myös, kun n = 4 + 1 = 5. Koska väite on tosi n:n arvolla 5, on se kohdan 2 mukaan tosi myös, kun n = 5 + 1 = 6. Tätä päättelyketjua voi jatkaa loputtomiin, joten väite on tosi kaikilla n:n kokonaislukuarvoilla (n vähintään 3).

Seuraavassa muutama induktiolla(kin) todistuva väite:

1. Todista, että

1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + n = n(n+1)/2.

2. Todista, että

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2.

3. Geometrisen sarjan n:s osasumma:

1 + q + q2 + ... + qn-1 = (1 - qn)/(1 - q)

4. Tässä hyvin kaunis totuus:

13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2

Lisää induktiosta Tampereen teknisen korkeakoulun verkko-eepoksessa "Johdatus korkeakoulumatematiikkaan" (viimeinen luku). Katso myös Pascalin kolmio ja Pickin kaava.

110196 M.H.