Ilmakehän massa

Määritämme ilman paineen ja tiheyden Maan pinnalta mitatun korkeuden funktioina ja arvioimme niiden avulla ilmakehän massan. Laskelma on peräisin Mäntän lukion matemaattisen fysiikan kurssilta syyslukukaudelta 1994. Idean ymmärtäminen edellyttää alkeistietoja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta. Tehtävässä voi soveltaa myös numeerisen analyysin, fysiikan ja kemian taitoja.

Olkoon p(x) ja r(x) ilman paine ja tiheys korkeudella x maan pinnasta. Kaasulain pV = nRT avulla nähdään, että r(x) = k*p(x); verrannollisuuskerroin k = ilman moolimassa jaettuna tulolla R*T, missä R on kaasuvakio ja T on absoluuttinen lämpötila. Ilman moolimassa on painotettu keskiarvo typen ja hapen moolimassoista; Milma=(0,2*32 + 0,8*28)g/mol.

Laskussa tarvittavat vakiot:

Milma=0.0288 kg/mol (Ilman moolimassa)
R=8.31451 J/(mol*K) (Kaasuvakio)
T=230 K (Lämpötila; arvioitu keskiarvo)
Rmaa=6.367448*106 m (Maan keskimääräinen säde)
Mmaa=5.974*1024 kg (Maan massa)
G=6.67259*10-11 N*m2/kg2 (Gravitaatiovakio)
p0= 1.013*105 Pa (Normaali ilmanpaine)

Oheinen kuvio esittää putkea, jonka poikkileikkauksen pinta-ala on A ja korkeus dx. Putken pohja on korkeudella x maan pinnasta. Putken päihin voidaan ajatella saippualiuoksesta muodostuneet kalvot. Kokemuksen mukaan kalvot pysyvät paikoillaan, joten kohdassa x vallitsee voimien tasapaino. Kirjoitetaan tasapainoehto matemaattiseen muotoon:

missä

on putoamiskiihtyvyys korkeudella x. Ottamalla huomioon yllämainittu tiheyden ja paineen verrannollisuus, saadaan tasapainoehdosta differentiaaliyhtälö:

Yhtälöstä saadaan muuttujat erottamalla

(Rmaa + x)-säteisen, dx:n paksuisen pallonkuoren tilavuus on (kuva ohessa)

Massa-alkion lausekkeeksi tulee

Ilmakehän massa saadaan summaamalla massa-alkiot Maan pinnasta noin 200 kilometriin. Tämän rajan yläpuolella olevan ilman massa ei vaikuta lopputulokseen kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. Summauksen (integroinnin) voi tehdä graafisella laskimella, jollakin matematiikkaohjelmalla tai tekemällä tietokoneohjelman, joka laskee esimerkiksi 10 metriä paksujen kerrosten massoja yhteen Maan pinnasta pariin sataan kilometriin asti. Laskelman heikkoutena on lämpötilan arviointi. Mainittu 230 K on saatu taulukkokirjaa silmäilemällä. Tarkemman arvion saamiseksi olisi ilmakehä jaettava esimerkiksi 10 kilometrin kerroksiin ja arvioitava jokaisen kerroksen keskimääräinen lämpötila. Kemian oppikirjassa Katalyytti 1, WSOY 1994, ilmoitetaan ilmakehän massan olevan noin 5.3*1018 kg.

050196 M.H.