Harmoninen sarja
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +...
on siitä hauska, että se hajaantuu tavattoman hitaasti.
Hajaantuminen nähdään esimerkiksi seuraavasti:
Oletetaan, että on olemassa reaaliluku 2s siten, että
2s = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... . (*)
Jaetaan (*) puolittain 2:lla;
s = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ... . (**)
Vähennetään (**) tämä puolittain yhtälöstä (*);
s = 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... . (***)
Vähentämällä puolittain (***):sta (**) saadaan
0 = (1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + ... ,
mikä on mahdotonta, sillä kaikki yhteenlaskettavat ovat positiivisia.
Hajaantumisen hitauden tajuaa, kun yrittää laskea sarjan osasummia
laskimella. Kunnon pentiumkin (lausekielellä ohjelmoituna)
tekee työtä pitkän rupeaman ennen kuin osasumma ylittää 20. Raa'alla
laskemisella lienee mahdotonta arvioida, kuinka monta termiä olisi
sarjan alusta otettava, jotta osasumma ylittäisi esimerkiksi
100 tai 1000. Voimme kuitenkin soveltaa analyysin alkeita asian
ratkaisemiseen. Määritellään lukujono (g(n)):
g(n) = 1 + 1/2 + ... + 1/n - ln(n) = s(n) - ln(n).
Jonon (s(n)) termien arvot ovat samat kuin funktion f(x) = 1/x
arvot pisteissä 1, 2, ..., n ja osasumma s(n-1) voidaan ajatella
f:n yläsummaksi välillä [1,n]. (Piirrä kuva.) Koska funktion f
integraali 1:stä n:ään on = ln(n), saamme seuraavan arvion:
g(n) = s(n) - ln(n) = 1/n + s(n-1) - ln(n) > 0
Epäyhtälö on voimassa n:n arvosta 1 alkaen, joten jono (g) on
alhaalta rajoitettu. Jonon peräkkäisten termien erotus on
g(n-1) - g(n) = ln(n) - ln(n-1) - 1/n.
Erotus ln(n) - ln(n-1) on funktion f integraali (n-1):stä n:ään
ja 1/n on samaa integraalia vastaava alasumma, joten erotus
g(n-1) - g(n) on positiivinen ja jono (g) on aidosti vähenevä.
Reaalilukujen täydellisyysaksiooman mukaan jonolla (g(n)) on raja-arvo:
g = lim (g(n)).
Raja-arvoa g kutsutaan Eulerin vakioksi ja se varsin mystinen luku.
Ei esimerkiksi tiedetä onko g rationaalinen vai irrationaalinen.
Luvun likiarvo on myös varsin tuntematon. Kun Neperin luku e sekä
ympyrän kehän ja halkaisijan suhde pii on laskettu miljardien desimaalien
tarkkuudella, on g:stä laskettu "vain" 108 miljoonaa desimaalia (1999).
MAOL:n taulukon mukaan likiarvo on noin 0,577216.
Katso lisätietoa osoitteesta
http://www.treasure-troves.com/math/math.html
.
Tässä eräitä harmoniseen sarjaan liittyviä ongelmia:
1. Arvioi g:n likiarvoa soveltaen, millä n:n arvolla s(n) = 100.
2. Osoita, että harmonisen sarjan n:s osasumma s(n), n > 1,
toteuttaa kaksoisepäyhtälön
ln(n+1) < s(n) < 1 + ln(n)
3. Muurahainen lähtee kävelemään pitkin kumilankaa, jonka pituus
on 1 metri. Kun muurahainen on kävellyt 1 cm, lanka venytetään
2 metrin pituiseksi. Kun muurahainen on kävellyt toisen sentin,
lanka venytetään 3 metrin pituiseksi. Kun muurahainen on kävellyt
kolmannen senttinsä, lanka venytetään 4 metrin pituiseksi jne... .
Pääseekö muurahainen koskaan langan toiseen päähän? Jos pääsee,
niin kuinka pitkä kumilanka tuolloin on? (Kerrotaan, että
akateemikko Saharov ratkaisi tämän tehtävän minuutissa!)
4. Osoita, että harmonisen sarjan osasumma s(n) ei voi olla
kokonaisluku, kun n > 1.
031298-mh
