Gnedenkon ratkaisu:

Merkitään n-alkioisen joukon k-kombinaatioiden lukumäärää symbolilla (ⁿ_k). Polkujen lukumäärän laskemisessa toteutuu selvästi Pascalin kolmion periaate. Pisteeseen (2n,0) päätyviä polkuja on täten (²ⁿ_n) kappaletta. Polut, jotka ylittävät x-akselin (kohtaavat suoran y = 1) ja päätyvät pisteeseen (2n,0), voidaan peilata suoran y = 1 suhteen. Peilikuvat päätyvät pisteeseen (2n,2) ja peilikuvia on tasan sama määrä kuin pisteeseen (2n,2) päätyviä polkuja eli (²ⁿ_n+1) kappaletta.

Lipunmyyntiongelma on analoginen hilassa kulkemisen kanssa. Yleisö (2n kpl) tulee satunnaisessa järjestyksessä, puolella on viidenkympin seteli ja lopuilla satasen seteli. Viisikymppinen vastaa yhtä askelta alaviistoon ja satasen seteli yhtä askelta yläviistoon. Vaihtoraha ei lopu, jos ei ylitetä vaaka-akselia. Kysytty todennäköisyys on 1/(n+1).

Kaunis ja nerokas ratkaisu!

140296 M.H.