Fermat integroimassa

Nerojen ajatukset ovat useimmiten vaikeita ymmärtää mutta onneksi on poikkeuksiakin. Katsomme miten Fermat integroi funktion y = xⁿ yli välin [0,a]. Integraalilaskentaa ei tuolloin sanan nykyaikaisessa mielessä oltu vielä keksitty, mutta matemaatikot olivat onnistuneet määrittämään kekseliäin menetelmin erilaisia pinta-aloja ja tilavuuksia. Mm. Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) oli suorittanut käsillä olevan integroinnin n:n arvoilla 1:stä 9:ään. Fermat onnistui suorittamaan tehtävän mielivaltaisella eksponentin rationaaliarvolla yhtä lukuunottamatta. Tässä kuitenkin oletamme, että eksponentti n on positiivinen kokonaisluku. Tehtävänä on siis määrittää käyrän ja vaaka-akselin väliin jäävä, kuvassa keltaisella merkitty, pinta-ala.

Fermat jakoi välin [0,a] äärettömän moneen osaväliin jakopisteillä

a, aq, aq², aq³, ... ,

missä 0 < q < 1, ja muodosti päättymättömän summan S(q) kuvassa näkyvien suorakulmioiden pinta-aloista:

S(q) = aⁿ(a - aq) + (aq)ⁿ(aq - aq²) + ... .

Miten summasta S(q) saadaan kysytty pinta-ala? Voidaanko menetelmä yleistää muille eksponenteille?

Pierre de Fermat (1601 - 1665) oli ammatiltaan lakimies mutta kuolemattomuutensa hän ansaitsi harrastuksensa, matematiikan, ansiosta. Hänen suurin kiinnostuksensa kohde oli lukuteoria mutta hän osallistui myös muiden matematiikan alojen, mm. todennäköisyyslaskennan kehittämiseen.

Tämän kertomuksen lähteenä on professori Boris Sjöbergin teos "Från Euklides till Hilbert, Historien om matematikens utveckling under tvåtusen år". (ISBN 952-9616-44-9) Kirja on erittäin suositeltavaa luettavaa matematiikasta kiinnostuneille lukiolaisille; mielekäs tapa opetella ruotsia aivan vapaaehtoisesti!

150102 MH