Fermat'n lause tapauksessa n = 4

Lukion käynti 1960-luvulla oli siinä mielessä mukavaa, että tuolloin saattoi aivan tavallisesta maalaiskirjakaupasta ostaa halvalla yliopistollisia matematiikan oppikirjoja. Niitä lueskelemalla sai koulussa opetettavaa oppimäärää laajemman käsityksen matematiikasta. Nykyisin eivät kustannusyhtiöt pidä yllä alan tarjontaa muutamaa yleistajuisia kirjoja toimittavia pienkustantamoja lukuunottamatta.

Eräs noista 50- ja 60-luvun "legendaarisista" oppikirjoista oli ja on Kalle Väisälän teos "Lukuteorian ja korkeamman algebran alkeet" (Otavan tiedekirjasto). Kirja jakautuu lukuteorian perusteita käsittelevään "edelliseen osaan" ja determinanttioppia sekä polynomeihin liittyvää korkeampaa algebraa käsittelevään "jälkimmäiseen osaan". Lukuteorian osuudessa on loisteliaalla tyylillä esitelty elementäärisen lukuteorian peruskäsitteet, kongruenssioppi, toisen asteen kuntateoria sekä katsaus Fermatin suuren lauseen historiaan.

Fermat'n lauseen ja sen, että Andrew Wiles onnistui vuonna 1995 lauseen todistamaan, tuntenevat kaikki näille sivuille eksyneet. Väisälän kirjoittamaan Fermatin lauseen historiikkiin sisältyy todistus lauseesta eksponentin arvolla 4. Se lienee ainoa alkeellisin keinoin todistuva tapaus Fermat'n lauseesta ja sen pystyi matematiikasta kiinnostunut lukiolainenkin ymmärtämään. Todistuksen läpikäytyään saattoi joskus tunnin pari miettiä, mikä pikku niksi maailman suurimmilta matemaatikoilta oli jäänyt huomaamatta lauseen yleisessä todistuksessa! Toisaalta, yrityksen tajusi mahdottomaksi, kun silmäili samassa yhteydessä olevaa Eulerin todistusta eksponentin arvolle 3. Nykyisin elementäärisen todistuksen etsintää pidetään ikiliikkujan keksimiseen verrattavana toimintana, mutta toisaalta, täytyyhän vain alkeellisia keinoja hyödyntävä todistus olla mahdollinen, koska lause kuitenkin on tosi!

Fermat

Seuraavassa esitellään Väisälän teokseen pohjautuen Fermatin lauseen todistus eksponentin arvolla 4. Tämän todistuksen on ensimmäisenä julkaissut Leibniz vuonna 1678 (Three Lectures on Fermat's Last Theorem, L.J.Mordell 1920).

Todistuksessa ei tarvita Pythagoraan yhtälöä merkillisempiä esitietoja, mutta asian monitorilta ymmärtäminen voi silti olla hankalaa. Siksi olisi parempi, jos asiasta kiinnostunut lukija tulostaisi jutun ja työstäisi kynää ja paperia käyttäen yksityiskohdat itselleen selviksi.

Pythagoraan yhtälön kokonaislukuratkaisut

Otetaan aluksi tehtäväksi löytää Pythagoraan yhtälön x2 + y2 = z2 kaikki keskenään jaottomat ratkaisut, eli ratkaisut, joille syt(x,y,z) = 1. Jos x,y,z on tällainen ratkaisu, on syt(x,y) = syt(y,z) = syt(z,x) = 1. Täten eivät x ja y molemmat voi olla parillisia. Ne eivät voi myöskään olla parittomia, sillä kahden parittoman luvun neliöiden summa on muotoa 4N + 2, mikä ei voi olla kokonaisluvun neliö. Siis: luvuista x, y tasan toinen on parillinen, olkoon se x. Koska syt(z,x) = 1, on z pariton.

Kirjoitetaan yhtälö x2 + y2 = z2 muotoon

x2 = z2 - y2 = (z - y)(z + y).

Koska z ja y ovat parittomia, ovat niiden summa ja erotus parillisia, eli on olemassa kokonaisluvut u < v siten, että

2u = z - y,

2v = z + y.

Ratkaisemalla näistä z ja y saadaan

z = v + u,

y = v - u.

Jos u:lla ja v:llä olisi yhteinen tekijä d > 1, olisi z = v + u = d(v' + u') ja y = v - u = d(v' - u'), eli syt(y,z) > 1. Täten u:lla ja v:llä ei voi olla ykköstä suurempaa yhteistä tekijää.

Koska

x2 = z2 - y2 = (z - y)(z + y) = 2u*2v = 4uv,

ja syt(v,u) = 1, on v:n ja u:n oltava kokonaislukujen neliöitä (aritmetiikan peruslause). On siis olemassa kokonaisluvut m ja n niin, että v =n2, u = m2 ja syt(n,m) = 1.

Pythagoraan yhtälön x2 + y2 = z2 kaikki keskenään jaottomat kokonaislukuratkaisut ovat siis

x = 2mn

y = n2 - m2

z = n2 + m2,

missä n > m ja syt(n,m) = 1.

Kääntäen, jokainen tällainen lukukolmikko toteuttaa Pythagoraan yhtälön.

Fermat'n suuri lause tapauksessa n = 4

Todistetaan, että yhtälöllä x4 + y4 = z2 ei ole yhtään positiivisista kokonaisluvuista muodostuvaa ratkaisua. Tästä seuraa Fermat'n suuri lause eksponentin arvolla 4, sillä yhtälö x4 + y4 = z4 voidaan kirjoittaa muotoon x4 + y4 = (z2)2.

Todistus on käänteinen: oletetaan, että yhtälön x4 + y4 = z2 toteuttavia positiivisia kokonaislukukolmikoita x,y,z on olemassa. Olkoon x,y,z näistä se, jossa z on pienin. Jos syt(x,y,z) = d > 1 ja yhtälö x4 + y4 = z2 jaetaan puolittain luvulla d4, saadaan (x/d)4 + (y/d)4 = (z/d2)2, jossa x/d, y/d ja täten myös z/d2 olisivat kokonaislukuja, eikä x,y,z näin olisikaan se ratkaisukolmikko, jossa z on pienin mahdollinen luku. Tästä seuraa, että syt(x,y,z) = 1.

Yhtälö x4 + y4 = z2 voidaan kirjoittaa muotoon (x2)2 + (y2)2 = z2. Koska syt(x2,y2,z) = 1, on ylläolevan Pythagoraan yhtälön ratkaisuja koskevan lauseen mukaan olemassa kokonaisluvut m > n siten, että

syt(m,n) = 1, x2 = 2mn, y2 = m2 - n2 ja z = m2 + n2.

Yhtälö

y2 = m2 - n2

voidaan kirjoittaa muotoon

y2 + n2 = m2.

On siis olemassa kokonaisluvut u ja v siten, että

syt(u,v) = 1, n = 2uv ja m = u2 + v2.

Kun yhtälöön x2 = 2mn sijoitetaan n = 2uv, saadaan x2 = 4muv. Koska syt(u,v) = 1 ja syt(2uv,m) = syt(n,m) = 1, on lukujen m ja u samoin kuin lukujen m ja v suurin yhteinen tekija = 1. Täten m, u ja v ovat eräiden kokonaislukujen neliöitä (aritmetiikan peruslause).

On siis olemassa kokonaisluvut x', y' ja x' niin, että u = x'2, v = y'2 ja m = z'2. Koska u2 + v2 = m, on x'4 + y'4 = z'2, eli lukukolmikko x',y',z' toteuttaa alkuperäisen yhtälön. Tämä on ristiriita, koska

z' =< z'2 = m2 + n2 = z,

ja x,y,z oli oletuksen mukaan se ratkaisukolmikko, jossa z on pienin mahdollinen.

Andrew Wiles todisti Fermat'n lauseen parittomille alkulukueksponenteille, joten tuo Leibnizin todistus on oleellinen osa koko Fermat'n lausetta ajatellen. Ehkä se ei kuitenkaan ole Wilesin työn tasaveroinen kumppani!

Linkki Andrew Wilesistä ja Fermat'n lauseesta kertovalle sivulle:

http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/

301197 mh