Eulerin monitahokaskaava

Monitahokkat ovat tasojen rajaamia kolmiulotteisia reiättömiä kappaleita. Kappaleita rajoittavien tasojen osia (monikulmioita) kutsutaan tahkoiksi, tahkojen leikkausviivoja särmiksi ja särmien päätepisteitä kärjiksi. Jokainen särmä on yhteinen kahdelle tahkolle. Otamme tehtäväksi tutkia tahkojen, särmien ja kärkien lukumäärien välistä riippuvuutta. Olkoon tahkoja T, särmiä S ja kärkiä K kappaletta. Oletetaan edelleen, että tahkojen kulmamäärät ovat

n1, n2, ... , nT.

Koska jokaisessa tahkossa on särmien määrä sama kuin kulmien määrä ja jokainen särmä on yhteinen kahdelle tahkolle, on

2S = n1 + n2 + ... + nT.

Monitahokkaan kaikkien tahkojen kaikkien kulmien summaan sisältyy tieto tutkittavien osien lukumääristä, joten laskemme kyseisen summan kahdella eri tavalla. Olkoon tämä summa = X. Koska tasossa olevan n-kulmion kulmien summa on (n - 2)*Pi, on

X = (n1 - 2)*Pi + (n2 - 2)*Pi + ... + (nT - 2)*Pi =

= (n1 + n2 + ... + nT - 2T)*Pi = (S - T)*2*Pi.

Ajatellaan nyt monitahokas projisoiduksi tasoon siten, että jokaisen tahkon projektio on kulmamäärältään tahkoa vastaava monikulmio. Tämä on mahdollista, koska tahokkaassa on äärellinen määrä tahkoja ja särmiä ja tahokas voidaan projisoida äärettömään moneen suuntaan. Jos kaikissa projektioissa jokin tahko projisoituisi janaksi tai jokin särmä pisteeksi, täytyisi tahkoja ja särmiä olla ääretön määrä. Projektiokuvio on monikulmio, jossa on päällekkäin tahokkaan ylä- ja alapuolen kuva. Oheinen kuvio pyrkii havainnollistamaan tilannetta. Selvyyden vuoksi voi ylä- ja alapuolen kuvia ajatella erillisinä. Olkoon projektiokuvan reunalla K1 kappaletta tahokkaan kärkien projektioita, alapuolisen kuvan sisällä K2 kpl kärkien projektioita sekä yläpuolisen kuvan sisällä K3 kappaletta kärkien projektioita. Tällöin kaikkien kulmien summa on

X = K2*2*Pi + (K1 - 2)*Pi + K3*2*Pi + (K1 - 2)*Pi =

= (K1 + K2 + K3 - 2)*2*Pi = (K - 2)*2*Pi.

Vertaamalla X:n lausekkeita saadaan

T - S + K = 2.

Tätä kutsutaan Eulerin monitahokaskaavaksi, joissakin kirjoissa myös Euler-Descartesin kaavaksi. Descartes keksi kaavan vuonna 1639, mutta se tuli tunnetuksi Eulerin uudelleen keksimänä vuonna 1751. Platonin monitahokkaita on mukava tutkia Eulerin kaavaa käyttäen.

181295 M.H.

Pintojen luokittelua Eulerin kaavalla

Tutustumme vielä 2-ulotteisten pintojen luokitteluun Eulerin kaavaan nojautuen. Tarvittavat käsitteet ja argumentit esitellään intuitiivisesti. Niiden tarkka matemaattinen määrittely ja todistusten läpivienti niiden avulla olisikin tutkija-tasoista yliopistomatematiikkaa. Tässä on tarkoitus saada ainoastaan yleiskuva asiasta.

Tutkimme konkreettisten 3-ulotteisten kappaleitten 2-ulotteisia pintoja. Tahko-särmä-kärki-rakenne ajatellaan pinnalle piirretyksi viivoitukseksi, jossa pinta jakaantuu monikulmioiden kaltaisiin alueisiin, joita pidetään tahkoina. Alueiden reunat muodostuvat särmistä, joiden ei tarvitse olla suoraviivaisia. Särmien risteyskohtia pidetään kärkinä. Särmillä on kärjet päätepisteinä. Päätepisteet voivat yhtyä, jolloin särmä on sulkeutuva rengas. Yhtyneet päätepisteet lasketaan yhdeksi kärjeksi. Oletamme lisäksi, että pinnoilla on seuraava suunnistusominaisuus: särmiä piirtäessämme pysymme koko ajan joko kappaleen ulkopinnalla tai kappaleen sisäpinnalla, mutta emme pääse huomaamattomasti liukumaan ulkoa sisään tai päinvastoin. Tämän voi sanoa hieman matemaattisemmin seuraavasti: jos annamme kappaleen pinnan normaalivektorin kulkea kappaleen pintaa pitkin minkä tahansa lähtöpisteeseen palaavan reitin, on vektori takaisin palattuaan samoin päin kuin lähtiessä. Esimerkiksi Möbiuksen nauhalla ei ole tätä ominaisuutta. Sen pinnalta löytyy reitti, jota pitkin kulkien vektori on yhden kierroksen jälkeen ylösalaisin.

Merkitään seuraavassa lausekkeen T - S + K arvoa E:llä. E:tä kutsutaan pinnan Euler-karakteristikaksi. Todistamme induktiolla, että E(pallo) = 2.

1) Piirretään pallon pinnalle kiinteästä pisteestä alkaen sulkeutuva rengas. Pallon pinta jakaantuu 2:ään tahkoon, joita rajoittaa 1 särmä. Valittu kiinteä alkupiste on kärki. Täten T - S + K = 2 - 1 + 1 = 2, eli Eulerin kaava toteutuu tässä tapauksessa.

2) Oletetaan pallon pinta viivoitetuksi niin, että T - S + K = 2. Käydään läpi kaikki mahdolliset tavat muuttaa lukumääriä T, S ja K ja osoitetaan, että lausekkeen T - S + K arvo pysyy vakiona. Tässä malliksi yksi tapaus:

Olkoon erään tahkon reunalla p kärkeä. Valitaan tahkon sisältä piste uudeksi kärjeksi ja yhdistetään se tahkon reunalla oleviin kärkiin toisiaan leikkaamattomilla viivoilla. Tällöin T, S ja K muuttuvat seuraavasti:

T

--->

T'

= T - 1 + p

S

--->

S'

= S + p

K

--->

K'

= K + 1

Välittömästi nähdään, että T' - S' + K' = T - S + K = 2. Käy läpi yksityiskohtaisesti kaikki muut mahdollisuudet muuttaa T:n, S:n ja K:n lukumääriä.

3) Koska kaava pitää paikkansa 1-kohdan tapauksessa ja kohdan 2 reformaatiot eivät muuta lausekkeen E arvoa, kaava on tosi kaikille mahdollisille pallopinnan viivoituksille.

4) Pallon voi takoa eri muotoihin, kunhan ei revi sitä eikä tee reikiä. Tahkojen, särmien ja kärkien lukumäärät säilyvät ja näin kaikille pallon kaltaisille pinnoille E(pinta) = T - S + K = 2.

Munkkirinkilän eli toruksen Euler-karakteristikalla on toinen arvo. Liimaamalla suorakulmion mallinen paperi lieriöpinnaksi ja liittämällä lieriön päät yhteen nähdään toruksen pinnalla viivoitus, jossa on 1 kärki (suorakulmion kärjet yhtyvät siinä), 2 särmää (molemmat liimaus-saumat) ja 1 tahko (koko suorakulmio), joten E(torus) = 1 - 2 + 1 = 0. Induktio toimii samoin kuin pallon tapauksessa.

Torus

Torus-pinta voidaan ajatella syntyneeksi myös niin, että liitetään pallopintaan yksi kahva ja muotoillaan näin saatu pinta munkkirinkilän näköiseksi. Kahvaksi kelpaa lieriöpinta, jonka päät muotoillaan niin, että ne tulevat yhteneviksi kahden pallon pinnalla olevan erillisen tahkon kanssa. Taitetaan lieriö sopivasti, liitetään sen päät valittuihin tahkoihin ja piirretään särmä ensimmäisen tahkon reunalla olevasta kärjestä toisessa päässä olevan tahkon reunalla olevaan kärkeen. Tällöin tahkojen määrä vähenee yhdellä ja särmien määrä vastaavasti kasvaa yhdellä, joten Euler-karakteristikan arvo pienenee kahdella. Kahvaksi ei kelpaa sivusaumaton lieriö, koska sen vaippaa ei voi mieltää tahkoksi, jonka pitäisi olla monikulmio. Kahvan poistaminen palauttaa tilanteen ennalleen eli E:n arvo kasvaa 2:lla.

Ilmeisesti jokainen kahvan liittäminen pudottaa E:n arvoa 2:lla ja vastaavasti jokainen kahvan poisto kasvattaa sitä 2:lla, joten yleisesti pätee

E(n-kahvainen pinta) = 2 - 2n.

Pinnat voidaan siis erotella luokkiin kahvamäärän perusteella ja luokka selviää laskemalla tavalla tai toisella pinnan Euler-karakteristika.

Kriittinen lukija kysynee, miksi pitää nähdä näin paljon vaivaa nähdäkseen, onko annettu pinta pallo vai rinkilä, kun asia selviää katsomalla. Näin tietenkin onkin, kun on käytettävissä avaruuden kolmas ulottuvuus ja voimme tarkastella pintaa ulkopuolelta. Mutta jos olisimme toruksen pinnalla asuvia kaksiulotteisia olioita, joille avaruuden kolmas ulottuvuus olisi tuntematon, emme voisi tarkkailla maailmankaikkeuttamme ulkoapäin. Voisimme operoida vain pinnan sisällä. Silloinkin, jos matematiikkaa harrastaisimme, päätyisimme käsitykseen maailmankaikkeutemme luonteesta kolmioimalla asuinpintamme ja laskemalla suureet T, S ja K. Laskelma T - S + K = 0 osoittaisi, että maailmankaikkeutemme on rinkilän mallinen. Olemme 2-ulotteista pintaa vaikeamman 3-ulotteisen avaruutemme kanssa periaatteessa samassa asemassa kuin nuo kuvitellut 2-ulotteiset oliot. Emme voi tarkastella 3-ulotteisesta maailmaamme jostakin sen ulkopuolelta. Meidän on pystyttävä selvittämään avaruutemme luonne avaruuden sisältä poistumatta. Tässä 2-ulotteisten pintojen tutkiminen saattaa antaa vihjeen oikeasta lähestymistavasta.

Pintojen luokittelu kuuluu topologiaksi kutsuttuun matematiikan alaan. Sen juuret juontavat 1700-luvulle, mutta pääosa topologiasta on luotu kuluneella vuosisadalla. Lisää tietoa topologiasta saat Spectrum-tietokirjan topologia-artikkelista.
Tutustu myös topologian historiaan. Osoitteesta

http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/

löydät 17 todistusta Eulerin kaavalle!

150197 M.H.