Jutun pdf-versio näyttää
paperilla paremmalta.
1o Osoita, että otsikossa olevalla kolmannen asteen yhtälöllä
on kolme reaalista juurta ja laske Newtonin menetelmällä niiden
kuusidesimaaliset likiarvot.
2o Osoita: Jos r on yhtälön juuri, niin myös
r2 - 2 on yhtälön juuri.
3o Sijoita x = u + v ja sievennä yhtälö muotoon
(u3 + v3 + 1) + 3(u + v)(uv - 1) = 0.
4o Kohdan 3o yhtälö toteutuu, jos luvut u ja v
voidaan määrätä siten, että
{u3 + v3 = -1
{ u3 v3 = 1.
Muodosta toisen asteen yhtälö, jonka juurina ovat
luvut u3 ja v3. Sitä kutsutaan alkuperäisen yhtälön
resolventtiyhtälöksi.
5o Ratkaise resolventtiyhtälö. Kirjoita sen juurina olevat
kompleksiluvut muotoon
{z1 = cos t + i sin t
{z2 = cos t - i sin t,
ja laske niistä yksi alkuperäisen yhtälön ratkaisu x = u + v.
6o Käytä kohdan 2o ominaisuutta muiden juurien laskemiseen.
Vertaa tarkkoja arvoja alussa laskemiisi likiarvoihin.
211103 mh
ps. Yhtälö
z3 + az2 + bz + c = 0
muuttuu sijoituksella z = x - a/3 muotoon
x3 + px + q = 0.