Banachin tikkuongelman ratkaisu

Olkoon satunnaismuuttuja X = "jäljellä olevien tikkujen lukumäärä." X:n jakauma näyttää seuraavalta:

P(X = k) = (^2n-k-1_n-1)(½)^2n-k-1; k = 1, 2, ... ,n.

Odotusarvon laskeminen on ongelmallisempi juttu. Merkitään

f(n,k) = (^2n-k-1_n-1)(½)^2n-k-1 ja f(n.n+1) = 0,

ja osoitetaan, että f toteuttaa identiteetin

(n - k)*f(n,k) = ½*2n*f(n,k+1) - ½*(k+1)*f(n,k+1); k = 1, 2, ... , n.

Tämän avulla on helppo osoittaa, että odotusarvo on

EX = (2n - 1)(^2n-2_n-1)(½)^2n-2.

Manipuloimalla sopivasti jakauman todennäköisyyksien summaa, saadaan seuraava mukavan näköinen tulos:

Tämän todistaminen analyyttisesti on varsin elegantti ongelma!