Korttiongelman ratkaisu |
Määritetään se rajatila, jolloin n:n kortin pakka on romahtamaisillaan
jokaisen kortin kohdasta. Olkoon kortin pituus 2a. Numeroidaan kortit
alimmasta ylimpään 1, 2, ... , n. Olkoon kortin n:o k ulkoreunan etäisyys
sivusuunnassa pöydän reunasta = x(k).
Ylin kortti on putoamaisillaan, jos kortin painopisteen kohta on toiseksi
ylimmän kortin reunan kohdalla eli jos
x(n) - a = x(n-1).
Kaksi ylintä korttia on putoamaisillaan, jos niiden yhteinen painopiste on
kolmanneksi ylimmän kortin reunalla eli jos
(x(n ) - a + x(n-1) - a)/2 = x(n-2).
Jatkamalla näin koko pakan läpi saadaan yhtälöryhmä:
x(n) - a = x(n-1)
x(n) + x(n-1) - 2a = 2*x(n-2)
x(n) + x(n-1) + x(n-2) - 3a = 3*x(n-3)
............................................................
x(n) + x(n-1) + ... + x(2) - (n-1)*a = (n-1)*x(1)
x(n) + x(n-1) + ... + x(2) + x(1) - n*a = 0
Yhtälöryhmästä saadaan
x(n) = a*(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)
Vetämällä jokaista korttia inan verran taaksepäin saadaan pakan uloin
reuna ulottumaan melkein x(n):n päähän pöydän reunasta. Neljällä kortilla
päästään yli yhden kortin pituuden päähän. (Kokeile!) 52 kortilla pääsee
noin 2,27 kortin mittaa yli pöydän reunan, mutta asettelu voi olla
kärsivällisyyttä vaativaa.
x(n) on vakiokerrointa a vaille harmonisen
sarjan n:s osasumma ja koska kyseinen sarja tunnetusti hajaantuu, voidaan
päätellä, että äärettömän monella kortilla päästään äärettömän kauas
pöydän reunasta. Pakan uloin reuna voidaan siis viedä jokaista
ennalta asetettua rajakohtaa kauemmaksi latomalla vain tarpeeksi monta
korttia pinoon!
180496 M.H.
Ps. Harmonisen sarjan hajaantuminen voidaan todistaa esimerkiksi
seuraavasti:
Oletetaan, että on olemassa äärellinen reaaliluku 2s siten, että
|
Ylin kortti on putoamaisillaan, jos kortin painopisteen kohta on toiseksi ylimmän kortin reunan kohdalla eli jos
x(n) - a = x(n-1).Kaksi ylintä korttia on putoamaisillaan, jos niiden yhteinen painopiste on kolmanneksi ylimmän kortin reunalla eli jos
(x(n ) - a + x(n-1) - a)/2 = x(n-2).Jatkamalla näin koko pakan läpi saadaan yhtälöryhmä:
x(n) - a = x(n-1)Yhtälöryhmästä saadaanx(n) + x(n-1) - 2a = 2*x(n-2)
x(n) + x(n-1) + x(n-2) - 3a = 3*x(n-3)
............................................................
x(n) + x(n-1) + ... + x(2) - (n-1)*a = (n-1)*x(1)
x(n) + x(n-1) + ... + x(2) + x(1) - n*a = 0
Vetämällä jokaista korttia inan verran taaksepäin saadaan pakan uloin reuna ulottumaan melkein x(n):n päähän pöydän reunasta. Neljällä kortilla päästään yli yhden kortin pituuden päähän. (Kokeile!) 52 kortilla pääsee noin 2,27 kortin mittaa yli pöydän reunan, mutta asettelu voi olla kärsivällisyyttä vaativaa.
x(n) = a*(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)
x(n) on vakiokerrointa a vaille harmonisen sarjan n:s osasumma ja koska kyseinen sarja tunnetusti hajaantuu, voidaan päätellä, että äärettömän monella kortilla päästään äärettömän kauas pöydän reunasta. Pakan uloin reuna voidaan siis viedä jokaista ennalta asetettua rajakohtaa kauemmaksi latomalla vain tarpeeksi monta korttia pinoon!
180496 M.H.
Ps. Harmonisen sarjan hajaantuminen voidaan todistaa esimerkiksi seuraavasti:
Oletetaan, että on olemassa äärellinen reaaliluku 2s siten, että
2s = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ..... .