EINSTEININ SUHTEELLISUUSTEORIAN PERIAATTEET

YLEISTAJUINEN FYSIKAALINEN ESITYS

KIRJOITTANUT


V.J.KALLIO
PORVOOSSA
WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ

WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖN
KIRJAPAINOSSA PORVOOSSA 1922

SISÄLLYSLUETTELO


Esilause
I.Erikoinen suhteellisuusteoria
Valmistavia käsitteitä
Klassillisen mekaniikan suhteellisuusperiaate
Seikkoja, jotka ovat aiheuttaneet ristiriitoja
Aika- ja pituuskäsitteen tarkistus
Ristiriitojen selvitys ja uuden suhteellisuusteorian perustaminen
Massa ja energia
Minkowskin neliulottuvainen maailma
II. Yleinen suhtellisuusteoria

Yleinen suhteellisuusperiaate
Kaksi perustavaa periaatetta
Gravitaatiokenttä
Aika ja pituus gravitaatiokentässä
Gaussin koordinaatit ja niiden sovelluttaminen
Gravitaatioprobleema ja yleinen suhteellisuusteoria
Eräitä johtopäätöksiä yleisestä suhteellisuusteoriasta
Käytettyä kirjallisuutta

ESILAUSE

Viimeisen neljännesvuosisadan kuluessa on joukko uusia ilmiöitä astunut luonnontieteellisen tutkimuksen näyttämölle. Röntgensäteiden ja radioaktiivisten ilmiöitten keksiminen on arvaamattomassa määrässä vienyt tiedettä eteenpäin. Nämä ja muutkin ilmiöt ovat antaneet aihetta uusille teorioille, joista huomattavimmat ovat elektroni-, hiukkas- (quantum) ja suhteellisuusteoria (relatiivisuus). Näistä on ehkä merkillisin viimeksimainittu, sillä se muuttaa tavallista enemmän meidän totuttua ajatustapaamme. Ensi alussa se herätti tavatonta vastustusta jopa pilaa. Mutta vähitellen ovat vastustajat vähentyneet, ei kukaan vakava tieteenharjoittaja voi enää sivuuttaa suhteellisuusteoriaa olkapään kohauksella. On pakko ihailla sitä miestä, joka aivan nuorena löysi uuden maailman. Einsteinin yleinen suhteellisuusteoria julkaistiin sodan aikana ja nyt sen loputtua on suuressakin yleisössä herännyt halua tutustua siihen, on syntynyt paljon yleistajuista suhteellisuusteoriaa käsittelevää kirjallisuutta.
On siis luultavaa, että suomenkielinenkin sivistynyt yleisö haluaa pääpiirteissään tutustua Einsteinin merkilliseen teoriaan. Yleistajuisen esityksen kirjoittaminen siitä on erittäin vaikea tehtävä asian suuren abstraktisuuden vuoksi. Suhteellisuusteoriassa on paljon matematiikkaa ja vain vähän kouraantuntuvaa. Olen seuraavassa koettanut esittää sitä niin konkreettisesti, kuin on ollut mahdollista ja sen vuoksi myös piirtänyt kysymyksen valaisemiseksi joukon kuvia. Vaikeimmat matemaattiset kohdat on painettu petiitillä ja voi matematiikkaan perehtymätön ne sivuuttaa. Einsteinin aatteiden omaksuminen ei ole helppoa, se vaatii keskitettyä ajatuskykyä. Kun olen koettanut välttää tarpeetonta laajasanaisuutta, niin on tärkeätä, että lukija todella ymmärtää jokaisen lauseen ajatuksen, ennenkuin hän menee eteenpäin.
Toivon tällä esityksellä antaneeni yleiskäsityksen suhteellisuusteorian periaatteista. Käytetyn lähdekirjallisuuden luettelo on teoksen lopussa. Ne, jotka haluavat tutustua kysymykseen laajemmalti, voivat siitä saada johtoa lisätietojen hankkimiseen.
Lopuksi pyydän kiittää suhteellisuusteorian etevää edustajaa Suomessa, prof. G. Nordströmiä, joka on ystävällisesti lukenut läpi käsikirjoituksen ja sen johdosta antanut arvokkaita neuvoja sekä maisteri A. K. Kivialhoa, joka on esityksen tarkastanut kielellisesti.
Uskelassa 6 p. heinäkuuta 1921 V. J. Kallio.

1. ERIKOINEN SUHTEELLISUUSTEORIA

1. Valmistavia käsitteitä.

Ajatteleva ihminen, jolle vuosisatoja sitten ensi kerta lausuttiin ajatus, että Maa on pallo, piti varmaankin sen esittäjää hulluna. Silmäys lähimpään ympäristöön ja välittömät kokemukset viittasivat siihen, että Maa jatkui semmoisenaan tietymättömiin. Ei ollut suoritettu mitään purjehduksia Maan ympäri. Kaksi viivaa, jotka hän kompassin avulla piirsi vaakasuoraan pohjois-etelä-suuntaan, olivat tietenkin yhdensuuntaisia suoria. Jos Maa olisi pallo, niin minkä nojalla se lepäisi ja tietenkin silloin päinva staiselta puolelta kaikki putoaisi "alas"?
Tämä kaikki näytti hänestä varmaan perin luonnolliselta ja yksinkertaiselta ja hänen oli vaikeata silloisilla perusteilla ymmärtää päinvastaista ajatuskantaa. Mutta me, jotka elämme vuosisatoja jälkeen, olemme omaksuneet uuden käsityskannan. Meitä on mitä luonnollisin asia, että Maa on pallo, joka ei tarvitse mitään tukea. Meistä kompassin avulla piirretyt viivat eivät ole yhdensuuntaisia suoria, vaan magneettisilla navoilla toisiaan leikkaavia ympyräviivoja. Kaikki tuo on nyt meistä niin yksinkertaista, ettemme voi käsittää, kuinka sen omaksuminen on voinut olla ihmiskunnalle vaikeata.
Näin on kaikkien uusien aatteiden laita, jotka jollakin tavalla muuttavat meidän stereotyyppistä ajatustapaamme. Einsteinin esittämä uusi maailmankuva herättää nyt jokaisessa outoudellaan mahdottomuuden ajatuksen ja vastustusta, kun ei jakseta sitä ymmärtää. Mutta me emme saa senvuoksi sitä hylätä, voi käydä niin, että tulevat uudet sukupolvet pilkkaavat vuorostaan meidän typeryyttämme, jos emme ole voineet sitä sulattaa. Uuden teorian on tietenkin kuljettava ankaran kiirastulen läpi, kun kaikki fysiikan tutkijat sitä aivoissaan arvostelevat ja etsivät siitä mahdollisia heikkouksia. Teoria tietenkin saattaa olla kehityksen alainen ja erinäiset detaljit kestämättömiä, mutta typerää on vain ylimalkaan asettua vastustamaan suhteellisuusteoriaa - olen kuullut erään saksalaisen vastustavan suhteellisuusteoriaa senvuoksi, että Einstein on juutalainen (!) - yhtä typerää, kuin oli inkvisitsionilaitoksen hyökkäys Galilein kimppuun.
Einsteinin suhteellisuusteorian ymmärtäminen edellyttää eräitä matemaattisia seikkoja, joita ei mitenkään voi sivuuttaa, niin mielellään kuin moni tahtoisikin tutustua teorian periaatteisiin ilman matematiikkaa. Nämä edellytykset ovat kuitenkin, ainakin a luksi, verrattain yksinkertaisia.
Me tiedämme kouluajoiltamme, kuinka tavatonta kunnioitusta meissä herätti geometrian järjestelmä horjumattomine todistuksineen ja kuinka ankarasti uskoimme esimerkiksi siihen, että kolmion kulmain summa oli kaksi suoraa. Jos nyt joku epäilisi esim. tämän väitteen totuutta, niin me, samalla kun pitäisimme häntä hiukan yksinkertaisena, arvelematta todistaisimme sen hänelle loogillisesti nojautumalla yhä yksinkertaisempiin väittämiin ja loppujen lopulla aksioomeihin. Mutta tuo joku ei ole tyytyväinen, vaan kysyy: tuo todistelu saattaa kyllä olla totta, mutta ovatko siis nuo aksioomit tosia? Sehän on itsestään selvä, sitä ei tarvitse todistaa, me vastaamme. Onhan esim. selvää, että pisteestä suoran viivan ulkopuolella voi tälle piirtää vain yhden yhdensuuntaisen (paralleeliaksioomi). Mutta silloinpa tuo joku meitä oikein hämmästyttää lausumalla, ettei sitä voi lainkaan tietää. Ei ole ollenkaan sanottu, että paralleeliaksioomi on totta. Ja olemme ihmeissämme, kun kuulemme, että juuri tuo lauselma on ollut geometriassa ratkaisevana kohtana.
Jo 1800-luvun alkupuolella tulivat useat etevät matemaatikot - niistä huomattakoon erittäinkin saksalainen Gauss, venäläinen Lobatshefskij ja unkarilainen Bolyai - siihen käsitykseen, että paralleeliaksioomia ei voi todistaa. Kahdenkymmenen vuosisadan ponnistukset siinä suhteessa olivat olleet voimattomia. Kun ei siis tässä onnistuttu, niin katsottiin, paralleeliaksioomi tienhaaraksi, josta haarautuu kaksi eri geometrisen tieteen osaa. Sitä geometriaa, joka hyväksyy paralleeliaksioomin, sanotaan perustajansa mukaan euklidiseksi geometriaksi ja on siis meidän tavallinen koulugeometriamme tähän kuuluva. Sitä geometriaa taas, jossa pisteestä suoran ulkopuolella voi tälle piirtää useampia kuin yhden yhdensuuntaisen, sanotaan eieuklidiseksi. Tässä geometriassa esim. ei kolmion kulmain summa ole kaksi suoraa. Oikeastaan voidaan sitä tosiasiaa, että eieuklidinen geometria on voitu loogillisesti kehittää, pitää todistuksena siitä, ettei paralleeliaksioomia voi todistaa.
Kysymystä geometristen aksioomien totuudesta ei yleensäkään voida geometrian avulla ratkaista, eikä sellaisessa kysymyksessä ole ylipäätänsäkään mitään ajatusta. Käsite tosi ei sovi puhtaaseen geometriaan, koska me sillä tavallisesti merkitsemme sopeutumista todellisuudessa oleviin esineihin. Geometriahan ei käsittele omien käsitteittensä suhdetta esineisiin, vaan ainoastaan käsitteiden loogillista riippuvaisuutta toisistaan.
Ja kuitenkin kysymystä geometristen lauselmien totuudesta voidaan puolustaa. Geometrisilla kuvioilla on luonnostaan enemmän tai vähemmän tarkat vastineensa, jotka ovat antaneet aihetta näiden käsitteiden syntymiselle. Mutta jos tahdomme liittää geometrian fysiikkaan, niin voimme tehdä sen seuraavalla lauselmalla:käytännöllisesti kiinteässä kappaleessa kaksi pistettä määrää aina saman etäisyyden (janan), muuttuipa kappaleen asema miten hyvänsä.
Silloin ilmaisevat geometrian lauselmat jotakin kiinteistä kappaleista. Näin laajennettua geometriaa voidaan pitää fysiikan osana, ja nyt voidaan kysyä, pitävätkö geometrian lauselmat paikkansa niille reaalisille seikoille, jotka eri käsitteitä vastaavat. On siis selvää, ettei maailman tarvitse välttämättä olla euklidisen geometrian mukainen ja tulemme myöhemmin näkemään, kuinka asianlaita todellisuudessa on. Euklidisen geometrian lauselmien totuuden usko perustuu epätäydellisiin kokemuksiin.
Käyttämällä hyväksemme sitä lauselmaa, jolla geometria tehtiin fysiikan osaksi, voimme mitata kahden pisteen välin kiinteässä kappaleessa käyttämällä janaa yksikkönä. Saatu luku ilmoittaa mitattavan välin mittaluvun. Tähän perustuu mittaaminen.
Jokainen paikkailmoitus perustuu siihen, että ilmoitetaan piste kiinteässä kappaleessa. Niinpä ilmoituksessa: "Runebergin patsaalla Helsingissä" on merkitty piste, jossa Maata on käytetty kiinteänä vertauskappaleena. Näin voidaan menetellä Maan pinnalla. Mutta jos on ilmoitettava esim. lentokoneen paikka Runebergin patsaan yläpuolella määrättynä hetkenä, niin voidaan ajatella ripustetuksi venymätön nuora siitä Maahan ja mitatuksi sen pituus. Tästä esimerkistä ilmenevää periaatetta käytetään paikkailmoituksissa fysiikassa. Liitetään siihen kiinteään kappaleeseen, johon verrataan kiinteiotä osia siksi kunnes haluttu paikka saavutetaan ja ilmoitetaan pituuksia luvuilla. Ellei tätä voida käytännöllisesti tehdä, niin mitataan tarvittavat välit esim. valo-opin lakien avulla.
Fysiikassa käytetään n.s.suorakulmaista koordinaatistoa. Havainnollisen kuvan siitä saamme, jos koetamme jonkun huoneen sisällä määrätä pisteen aseman. Meidän täytyy silloin ilmoittaa pisteen P:n etäisyydet x ja y (kuva 1) kahdesta toisiaan leikkaavasta seinästä

ja etäisyys z permannosta. Janat x, y ja z ovat P:n koordinaatteja. Paikkailmoitukseen avaruudessa tarvitaan siis kolme koordinaattia.
Kun siis puhtaasti matemaattisesti menetellään, niin asetetaan (kuva 2 I) kolme toisiaan vastaan kohtisuoraa tasoa XOY, XOZ ja YOZ, jotka ajatellaan kiinnitetyiksi kiinteään kappaleeseen. Tasot leikkaavat toisensa X-, Y- ja Z-akselia pitkin. Akselien yhteinen piste on origo. Pisteen P:n asema ilmoitetaan kolmella koordinaatilla x, y ja z, jotka saadaan piirtämällä pisteestä P kohtisuorat kutakin tasoa vastaan. Kutakin pistettä avaruudessa vastaa ryhmä koordinaatteja (x, y, z) ja päinvastoin.

P:n koordinaatit voidaan valita myös perättäisesti, niinkuin kuva 2 II osoittaa. Tasot yhteisesti muodostavat vertailujärjestelmän eli koordinaatiston. Otaksutaan tässä koordinaatistossa euklidisen geometrian lakien pitävän paikkansa ja jana esitetään fysikaalisesti kahdella kiinteään kappaleeseen piirretyllä merkillä.

2. Klassillisen mekaniikan suhteellisuusperiaate.

On tavallisesti totuttu siihen, että aika ja avaruus ovat ne muodot, joissa aineen eri ilmiöt tapahtuvat. Määrätyllä hetkellä on eräs kappale määrätyssä paikassa, hetken kuluttua on tapahtunut liike toiseen paikkaan. Käsitteessä liike on siis olemassa yhteys noiden kolmen mainitun peruskäsitteen välillä. Me tulemme seuraavassa käsittelemään erikseen kaikkia näitä peruskäsitteitä, sillä juuri niiden käsitteiden uuteen määrittelyyn perustuuuusimekaniikka. Sitä ennen meidän on tietenkin luotava silmäys Galilein ja Newtonin töihin perustuvan n.s. klassisen mekaniikan alalle, voidaksemme sieltä poimia erikseen ne kysymykset, joissa kehitys on tapahtunut. Tarkastamme sitä varten aluksi äs kenmainittua yhteiskäsitettä liike.
Jos istun liikkuvassa junassa, niin olen levossa junaan, mutta liikkeessä Maahan nähden. Jos kävelen liikkuvassa junassa,niin olen liikkeessä sekä junaan että Maahan nähden. Mutta siltikään ei ole kysymys liikkeestä selvä. Maa kiertää kerran vuorokaudessa ympäri ja vuodessa kerran Auringon ympäri kulkien 30 km/sek. Ja edelleen liikkuu koko aurinkokunta Herkuleksen tähdistöön päin. Me näemme jo tästä, että aina on ilmoitettava kappaleen liike johonkin toiseen kappaleeseen eli vertailujärjestelmään nähden.
Kysymykseen löydämme lisävalaistusta, kun tarkastamme sitä hiukan edelleen kehitettynä. Minä pudotan tasaisessa liikkeessä olevan junan akkunasta kiven Maahan ja totean, että sen putoamisrata on suora. Radan vierellä oleva henkilö sattuu myös näkemään kiven putoamisen ja tekee havainnon, että kivi muodostaa käyrän radan, tarkemmin sanottuna paraabelin. Sama liikeilmiö näyttää siis erilaiselta riippuen siitä, missä liiketilassa kappale on, josta sitä tarkastetaan. Käyttämällä edellisessä esitettyä käsitettä koordinaatista voimme sanoa: tasaisessa liikkeessä olevaan junaan yhdistettyyn koordinaatistoon nähden on kiven putoamisrata suoraviivainen, Maahan yhdistettyyn koordinaatistoon nähden taas paraabeli. Joku voi kysyä: mikä on sen rata todellisessa avaruudessa? Sitä emme voi tietää. Näemme siis taas, ettemme voi puhua kappaleen radasta todellisuudessa, vaan ainoastaan johonkin vertailukappaleeseen, koordinaatistoon nähden. On mahdotonta ajatella avaruudessa mitään absoluuttisen kiintonai sta vertailujärjestelmää. Kaikki kappaleitten radat ovat suhteellisia.
Suhteellisuudessa voidaan mennä vieläkin pitemmälle. Moni on varmaan tehnyt sen havainnon, että voi helposti erehtyä tarkastellessaan junan akkunasta viereisellä raiteella olevaa junaa siitä, kumpi on liikkeessä. Voi kuvitella, että oma juna on paikallaan ja toinen liikkeessä tai päinvastoin. Vasta vertaamalla liikettä Maahan pääsee asiasta selville. Samoin voi laivasta tarkastellessaan erehtyä luulemaan, että rannat liikkuvat ja laiva on paikoillaan. Erittäin väkevän kuvitelman saa, kun elävissä kuvissa katsoo kuvaa, joka on otettu liikkuvasta junasta. Aivan selvästi voi tuntea, kuinka koko teatteri liikkuu eteenpäin ja maisemat kankaalla pysyvät paikoillaan. Kuten oli näissä esimerkeissä, niin on asia oikeastaan aina. Ei voi antaa toiselle kappaleelle etuoikeutta lepoon ja toiselle liikkeeseen. Molemmat ovat siinä suhteessa yhdenarvoisia, koska liike on suhteellista. Voimme siis aivan hyvin ajatella fysiikassa, että Maa liikkuu junaan nähden kuin päinvastoin.
Mekaniikan peruslakeja on n.s.Galilein hitauslaki: levossa oleva kappale ja tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessa oleva kappale säilyttää liiketilansa. Avaruudessa liikkuva kiintotähti noudattaa tätä lakia jokseenkin tarkoin toisiin tähtiin verrattuna, mutta näyttää Maahan nähden kiertävän vuorokaudessa sen ympäri ympyrän muotoista rataa. Tässä ilmiössä pitää siis tuo laki tähtikoordinaatistoon nähden paikkansa, mutta ei maakoordinaatistoon verrattuna, joka on pyörimisliikkeessä. Mutta jos taas tarkastetaan esim. suoraviivaisesti ja tasaisesti Maahan nähden lentävää lintua junan ikkunasta, niin huomataan, että sen liike junaankin nähden on tasainen ja suoraviivainen. Sanomme, että jos järjestelmä kiertymättä siirtyy toiseen järjestelmään nähden tasaisella nopeudella ja suoraviivaisesti, että se on siihen nähden siirtoliikkeessä. Jos siis järjestelmä on siirtoliikkeessä toiseen nähden, niin pitää hitauslaki paikkansa ensimäisessä, jos se pitää paikkansa jälkimäisessä. Suhteellisuusperiaatteen mukaisesti ovat mekaniikan lait yleensä riippumattomia vertailujärjestelmän siirtoliikkeestä. Käytännöllisesti tämän voi havaita jo siitä yksinkertaisesta seikasta, että esim. siirtoliikkeessä olevan laivan hytissä on mahdotonta tuntea olevansa liikkeessä, kun ei voi suorittaa vertausta rantoihin nähden. Vaikutus on vieläkin parempi, jos laivan kone ei käy. Galilei-Newtonin mekaniikan lait pitävät siis suhteellisuusperiaatteen mukaan paikkansa riippumatta vertailujärjestelmän siirtoliikkeestä. Lyhyesti voidaan Galilei-Newtonin mekaniikan suhteellisuusperiaatteen sisällys esittää myöskin näin: mekaniikan avulla ei voi todeta vertailujärjestelmän siirtoliikettä järjestelmän piirissä.
Tämä periaate on yksinkertainen ja selvä. Siihen perustuen voidaan johtaa yhtälöt, joiden avulla liikeyhtälöt muunnetaan eli transformoidaan järjestelmästä toiseen, jotka ovat toisiinsa nähden siirtoliikkeessä. Nämä kaavat, ,jotka esittävät suhteellisuusperiaatteen matemaattisen sisällyksen, johdetaan yksinkertaisesti seuraavasti.

Olkoon meillä (kuva 3) koordinaatisto O. Jokainen tapahtuma siinä on määrätty, jos on ilmoitettu asianomaisen pisteen koordinaatit (x, y, z) ja sitä vastaava aika t luettuna jostakin ajankohdasta. Jokainen ryhmä (x, y, z, t) ilmoittaa siis tapahtumaa koordinaatistoon O nähden ja voidaan niitä yhteisesti sanoa tapahtuman koordinaateiksi. Liikkukoon nyt koordinaatisto O' X-akselin suuntaan siirtymällä, siis ilman kiertoliikettä ja olkoon silloin määrättävänä saman tapahtuman koordinaatit uudessa järjestelmässä, siis ryhmä (x',y',z',t'). Seuraa, että
  • x' = x - v*t
  • y' = y
  • z' = z
  • t' = t.
Nämä yhtälöt ovat klassisen mekaniikan transformaatiokaavat. Niistä voimme edelleen johtaa n.s. mekaniikan nopeuksien yhteenlaskuväittämän. Liikkukoon juna J Maahan M:ään (kuva 4) nähden nopeudella v1m/sek ja junassa kulkee mies H nopeudella v2m/sek. Mikä on miehen nopeus M:ään nähden? Tarkastamalla yhden sekunnin kuluessa suoritettuja matkoja nähdään, että miehen nopeus on v = v1 + v2, jos juna ja mies liikkuvat samaan suuntaan, mutta v1 - v2, jos ne liikkuvat eri suuntiin. Mitä tässä on johdettu erikoisesta esimerkistä, voidaan johtaa muistakin tapauksista. Tulos on klassillisen mekaniikan nopeuksien yhteenlaskuväittämä.
Sama yhtälö voidaan helposti myös johtaa yhtälöstä x' = x - v*t, jonka sitä varten kirjoitamme muotoon x' = x - v1*t ja differentioimme. Seuraa dx'/dt = dx/dt - v1. Kun dx'/dt = v2 ja dx/dt = v, niin on v2 = v - v1 eli v = v1 + v2.
Johdettuihin seikkoihin nojautuen voidaan siis määrätä tapahtuman koordinaatit toisessa järjestelmässä, kun ne toisessa ovat annetut. Klassilliseen mekaniikkaan perustuen voidaan taivaankappaleitten liikkeet laskea erittäin tarkasti ja esim. auringonpimennykset ennustaa sekunnilleen vuosia edeltäpäin. Se pitää siis sangen suuressa määrin paikkansa. Siitä huolimatta on olemassa seikkoja, jotka ovat sen kanssa ristiriidassa. Näiden tarkasteluun ryhdymme seuraavassa.

3. Seikkoja, jotka ovat aiheuttaneet ristiriitoja.

Mekaniikka ja sähködynamiikka kehittyivät aluksi toisistaan erillään, paljoakaan toisiaan koskettamatta. Vasta sen jälkeen kun englantilainen Maxwell oli tutkinut sähködynaamisia ilmiöitä liikkuvissa kappaleissa, alkoi ilmetä vaikeita ristiriitoj a. Maxwellin valoteorian mukaan kuuluu myöskin kaikki säteily sähkömagneettisiin ilmiöihin. Säteilyilmiöihin kuuluvat valon lisäksi langattoman lennättimen, lämmön ja röntgensäteidet aallot. Vanhan käsityksen mukaan ne ovat kaikki poikittaista aaltoliikettä n.s. eetterissä, jonka otaksumme täyttävän avaruuden. Säteilylajien yhteinen ominaisuus on edelleen se, että ne kaikki etenevät tyhjässä tilassa nopeudella, joka on c=300000 km/sek.
Tämä yksinkertainen laki antaa jo semmoisenaan aihetta vakavaan harkintaan ja johtaa sovellettuna varsin jyrkkiin ristiriitoihin. Historiallisesti on erittäinkin kaksi koetta, jotka ovat antaneet teoreetikoille paljon päänvaivää ja lopulta sovittamattomuudellaan vieneet jonkinlaiseen vallankumoukseen fysiikassa. Nämä ovat n.s.Fizeaunja Michelsonin kokeet. Esitämme seuraavassa lyhyesti kummankin oleellisen sisällyksen.
Sitä ennen me kuitenkin tarkastamme näiden ymmärtämiseksi mekaniikan nopeuksien yhteenlaskuväittämää sovellettuna valonsäteeseen (kuva 5). Kulkekoon valonsäde Maahan (M) nähden nopeudella c ja juna (J) noipeudella v. Valonsäteen nopeus olisi silloin junaan

nähden ilmeisesti (c - v), ja jos juna kulkisi päinvastoin niin (c + v). Tullaan myöhemmin huomaamaan, ettei tämä pidä paikkaansa.
Fizeaun kokeessa, joka suoritettiin ensi kerran v. 1851, annettiin valonsäteen kulkea veden läpi, joka virtasi erikoisessa torvessa, ja tarkastettiin, millä tavalla veden liikenopeus vaikutti valonsäteen nopeuteen. Mittaus voitiin suorittaa sopivasti järjestetyillä interferenssi-ilmiöillä. Valon nopeus, joka vedessä on pienempi kuin ilmassa, olkoon veteen nähden c1, ja veden nopeus torveen nähden v1. Oli siis ratkaistava valonsäteen nopeus v torveen nähden ja näytti siinä olevan kaksi mahdollisuutta.
1:o Vesi kuljettaa mukanaan eetterin,jossa valoilmiöt tapahtuvat ja valon nopeus torveen nähden voidaan silloin laskea mekaniikan nopeuksien yhteenlaskuväittämän perusteella: myötävirrassa v = (c1 + v1) ja vastavirrassa v = (c1 - v1).
2:o Vesi ei kuljeta mukanaan eetteriä ja valon nopeus torveen nähden on c1.
Koe eri ratkaissut tarkoin kummankaan mahdollisuuden hyväksi. Tulos oli välittävä ja osoitti, että vesivirta jonkin verranlisäsi tai vähensi valon nopeutta, mutta ei niin paljon kuin yhteenlaskuväittämä edellytti. Hollantilainen Lorentz, joka asiaa on myöhemmin selittänyt, väittää, että tulos pääpiirteissään oli katsottava siksi, että vesi ei kuljettanut eetteriä mukanaan.
Kun siis tässä kokeessa syntyi "eetterituuli" liikkuvaan kappaleeseen nähden, niin oli amerikkalaisen Michelsonin kokeessa, joka ensi kerran suoritettiinv. 1881, toisen kerran v. 1887 yhdessä Morleyn kanssa, tarkoituksena todeta tämä Maan liikkuessa avaruudessa eetterin läpi. Kokeen tekijä ajatteli näin: Maa liikkuu 30 km/sek. rataa, joka lyhyen ajan kuluessa voidaan pitää suoraviivaisena. Jos väli liikkuu muuttumattomalla nopeudella paikallaan olevaan eetteriin nähden, niin pitää sen siis edetä yhteenlaskuväittämän perusteella eri nopeasti liikesuunnassa kuin kohtisuorassa sitä vastaan. Kokeen suoritus oli teknisesti erittäin vaikea. Järjestämällä kuitenkin kaikki laitteet elohopeassa uivalle kivimöhkäleelle ja käyttämällä tarkoituksenmukaisia interferenssimenetelmiä onnistuttiin kehittämään tarkkuus niin pitkälle, että sadasosa lasketusta vaikutuksesta voitiin havaita. Tulos oli kuitenkin kielteinen. Ei tavattu pienintäkään vaikutusta "eetterituulesta". Valonsäteen nopeus oli kaikkiin suuntiin sama. Ilmiö tapahtui aivan niin, kuin kuljettaisi Maa eetterin mukanaan, siis tasan päinvastoin kuin Fizeaun kokeessa.
Näiden kahden kokeen tulokset olivat siis ristiriitaiset, ja niiden lisäksi tuli vielä muita. Hollantilainen de Sitter huomasi v. 1913 kaksoistähdistä suorittamiensa havaintojen perusteella, että valon nopeus ei riipu sitä lähettävän kappaleen nopeudesta. Liikkuipa valonlähde 10 tai 100 km/sek., niin on molemmissa tapauksissa valon nopeus niihin nähden sama eli c = 300000 km/sek. Kaikki tämän suuntaiset kokeet ja tarkastelut ovat ehdottoman sitovasti vieneet seuraavaan ensi katsannolta ihmeelliseen tulokseen: Säteilyn etenemisnopeus on jokaiseen vertailujärjestelmään nähden sama eli c = 300000 km/sek. Mutta tämä on ristiriidassa sen tuloksen kanssa, joka jo edellä johdettiin Galilei-Newtonin mekaniikan perusteella esimerkissämme junasta ja valonsäteestä. Viimeksi saatu tulos on oikeastaan tarkemmin ajateltuna suhteellisuusperiaatteen mukainen, sillä sen mukaan jokainen luonnonlaki on riippumaton vertailujärjestelmän siirtoliikkeestä. Klassisen mekaniikan ajatustapaan tottuneesta se silti tuntuu vaikealta jopa mahdottomalta ymmärtää.
Tässä yhteydessä on huomautettava eräästä hypoteesista eli olettamuksesta, joka klassilisessa mekaniikassa on asiaa tarkemmin ajattelematta tehty tulkittaessa suhteellisuusperiaatetta matemaattisessa muodossa ja joka ei pidä paikkaansa. Tämä olettamus selviää yksinkertaisesti äskeisen junaesimerkkimme avulla. Mitatkoon havainnontekijä vertailujärjestelmässä M, siis Maahan nähden, erään esineen esim. linnun etenemisnopeudeksi v. Samalla mittaa toinen havainnontekijä junassa vertailujärjestelmäänsä J nähden nopeuden eri arvon v1. Jos nopeus v olisi äärettömän suuri, niin olisi myös v1 äärettömän suuri ja siis v1 = v. Eri arvo nopeuksille eri vertailujärjestelmiin nähden ilmenisi siis aina silloin, kun nopeudet olisivat äärellisiä, sama arvo molempiin järjestelmiin nähden vain nopeuksien ollessa äärettömän suuria. Viimeksi esitetty ajatus on juuri se hypoteesi, joka kaikessa hiljaisuudessa oli tehty klassillisessa mekaniikassa. Ei kukaan tullut ajatelleeksi, että jo eräällä äärellisellä nopeudella (c = 300000 km/sek) olisi tuo erikoisominaisuus (singulariteetti), jonka aikaisempi käsityskanta oli luullut olevan vain äärettömän suurella nopeudella. Kun kuitenkin jo valon käytännöllisesti katsoen on hyvin suuri verrattuna esim. kappaleitten nopeuksiin Maan pinnalla, niin eipä suinkaan tarvitse ihmetellä, että mainittu olettamus on ilman muuta tehty.
Saatu tulos osoittaa, että esitetty laki säteilyn nopeudesta on täysin yleisluonteinen ja pätevästi perusteltu. Se osoittaa myöskin, että valo-opillisilla keinoilla ei sen paremmin kuin mekaanisillikaan voi osoittaa kappaleitten absoluutisia liikeitä, vaan ainoastaan niiden liikkeitä toisiin kappaleihin nähden. Valo-opinkn kannalta on siis järjetöntä puhua asoluuttisesta liikkeestä ja levosta.
Me esitimme aikaisemmin n.s. klassillisen mekaniikan transformaatiokaavat, joiden avulla voitiin liikeyhtälöt muuntaa siirtojärjestelmästä toiseen. Niihin sisältyy mekaniikan suhteellisuusperiaate. Kun nyt Lorentz muodosti Maxwellin töiden perusteella perusyhtälöt sähködynamiikalle (johon oikeastaan valo-oppikin kuuluu) perustumalla liikkumattoman eetterin vertailujärjestelmään, niin hän teki sen havainnon, että yhtälöt muuttuivat, kun niihin sovellutettiin Galilei-Newtonin mekaniikan transformaatiokaavoja. Ne lait, jotka siis pitivät paikkansa eräässä vertailujärjestelmässä, eivät olisikaan olleet tosia toisessa, joka oli edelliseen nähden siirtoliikkeessä. Mekaniikan suhteellisuusperiaate ei siis olisikaan pitänyt paikkaansa sähködynamiikassa. Ja kuitenkin osoittaa kokemus, että johdetut lait ovat tosia.
Fysikaalisesti tätä seikkaa yritettiin selittää siten, että oli olemassa sähködynaamisiin ilmiöihin nähden erikoisasemassa oleva koordinaatisto, absoluuttisessa levossa oleva eetteri, ja että syntyneet ristiriitaisuudet aiheutuivat liikkeestä tähän järjestelmään nähden.
Näytti siis siltä kuin ei sähködynamiikassa olisikaan ollut olemassa mitään suhteellisuusperiaatetta, koska sähködynaamiset kaavat eivät olleet riippumattomia vertailujärjestelmien siirtoliikkeestä, vaan antoivat etusijan eräälle koordinaatistolle, liikkumattomalle eetterille. toiselta puolen oli taas kokeilla todettu, että sähködynaamisilla ilmiöillä ei voi järjestelmän piirissä todeta vertailujärjestelmän siirtoliikettä, ja näytti siis sähködynamiikassa olevan olemassa suhteellisuusperiaate. Asia tulkittiin silloin seuraavasti.
suhteellisuusperiaate pitää paikkansa yleensä sekä mekaniikassa että sähködynamiikassa, mutta klassisen mekaniikan transformaatiokaavat johtavat ainakin jälkimäisessä ristiriitaisiin tuloksiin. Kun ei taaskaan voi olla eri periaatetta ja eri transformaatiokaavoja eri osissa fysiikkaa, koska siten syntyisi ristiriitoja mekaanisten ja sähködynaamisten ilmuöitten esiintyessä yhdessä, niin on olemassa vain se mahdollisuus, että galilei-newtonin mekaniikan transformaatiokaavat ovat väärät. Ne on korvattava uusilla, jotka ovat yleispätevät. Tämän työn ovat suorittaneet Lorentz ja Einstein. Ennenkuin kuitenkaan voimme tutustua näihin tuloksiin, on meidän tarkistettava käsitteitä aika ja pituus ja tutkittava mitä niistä seuraa.

4. Aika- ja pituuskäsitteen tarkistus.

Ajatellaan, että kaksi henkilöä, joista toinen on Turussa ja toinen Viipurissa, haluaa päästä selville siitä, käyvätkö heidän kellonsa, jotka otaksumme erittäin tarkoiksi, samalla tavalla. Heillä pitää silloin olla keino, jonka avulla he voivat suorittaa tuon vertauksen. Otaksutaan heidän antavan merkkejä toisilleen esim. langattomalla lennättimellä, jonka tiedot kulkevat nopeudella 300000 km/sek. Eräällä hetkellä viipurilainen ilmoittaa, mitä hänen kellonsa on. Turkulainen asettaa heti kellonsa sen mukaan ja lähettää samalla hetkellä merkin takaisin. Saapumisajan viipurilainen toteaa tulleen t sek. sen jälkeen kun hänen merkkinsä läksi. Kun nyt turkulainen siirtää kellonsa t/2 sek. eteenpäin, niin luulisi kellojen näyttävän samanaikaisesti samaa. Jos Turku ja Viipuri pysyisivät paikallaan, niin olisi tämä vertailu oikea. Mutta me tiedämme, että Maa suorittaa kiertoliikettä Auringon ympäri ja että aurinkokunta liikkuu Herkuleksen tähdistöön päin. Onko asiain näin ollen varmaa, että sähköaallot viipyvät Viipurista Turkuun saman ajan kuin päinvastoin?
Me näemme jo tästä, että samanaikaisuuden määrittely ei ole niinkään yksinkertainen asia, kuin miltä se ehkä ensi katsannolla näyttää. Jokainen käsite on fyysikolle olemassa vasta silloin, kun hänellä on hallussaan keino, jolla hän voi tutkia sen paikkansapitävyyttä. Kun hän siis määrittelee samanaikaisuuden, niin hänen on suoritettava se niin, että määritelmään sisältyy ainakin teoreettisesti mahdollinen keino sen kontrolloimiseen. Muussa tapauksessa ei samanaikaisuuden määritelmässä ole mitään järkeä. Jos sovitaan esim. siitä, että ylläesitettyä menettelytapaa käytetään samanaikaisuuden määräämiseksi, niin on käsite sillä fysikaalisesti määritelty. Voimme kuitenkin tehdä sen toisella tavalla.

Olkoon meillä (kuva 6) kaksi pistettä A ja B ja niiden keskivälillä olevassa pisteessä C kulmapeili, jonka tasot muodostavat keskenään 90 asteen suuruisen kulman. Samanaikaisuus voidaan silloin määritellä näin: jos kahdessa eri pisteessä A ja B sattuneesta tapauksesta valomerkit saapuvat yhtaikaa janan AB:n keskivälillä olevaan pisteeseen O, niin ovat tapahtuman A:ssa ja B:ssä samanaikaiset. Yhtaikaisuus pisteessä O on selvä, koska merkit siinä tapahtuvat samassa paikassa. Niiden havaitseminen voidaan teoreettisesti suorittaa kulmapeilillä. Tätä vastaan voidaan väittää: onko varmaa, että valo kulkee matkat AO ja BO yhtä pitkissä ajoissa? Tämä ei meitä liikuta. Meistä on tämän määritelmän kannalta yhdentekevää, mitä valo on ja miten se kulkee, me pidämme vain kiinni siitä, että samanaikaisuus määritellään näin.
Tapahtuman ajankohdan määräämiseen tarvitaan kello. Esittäessämme käsitteen kello meidän ei kuitenkaan ole pakko rajoittua ajattelemaan ainoastaan niitä mekaanisia laitteita, joissa elastinen heilahdus on ajanmittana. Me voimme lukea aikaa jokaisen fysikaalisen ilmiön kulumisesta, kun vain hallitsemme sen lait niin tarkkaan, ettei mikään tuntematon seikka pääse vaikuttamaan. Saksalainen Weyl määrittelee kellon seuraavasti: jos täydelleen eristetty järjestelmä palautuu tarkoin tilaan, jossa se on ollut jonakin aikaisempana hetkenä, niin toistuu siitä alkaen samanlainen ajallinen tilannejakso ja ilmiö on syklinen; sellainen järjestelmä on kello. Tällaisia täydelleen samanlaisia kelloja asetamme eri paikkoihin avaruutta niin, että ne ovat kaikki levossa samaan järjestelmään nähden. Silloin on meillä varma aikamitta tässä järjestelmässä. Erään tapahtuman ajalla tarkoitetaan silloin aikailmoitusta (viisarien asentoa) tapahtumahetkellä siinä kellossa, joka on itse tapahtumapaikalla. Näin vastaa jokaista tapahtumaa aika, joka periaatteellisesti on mahdollinen havaita.
Kellojen on edelleen käytävä "yhtä nopeasti". Kun on siis todettu kahdesta kellosta samassa järjestelmässä A ja B, että valomerkit kummankin kellon viisarien samasta asennosta saapuvat yhtaikaa AB:n keskivälille, aivan siis ylläesitetyn määritelmän mukaan, niin voidaan kellojen tarkkakäyntisyyteen perustuen otaksua, että samat aikailmoitukset ovat aina samanaikaisia. Nimitämme tällaisia kelloja synkronisiksi.
On helppo osoittaa, että jos samassa vertailujärjestelmässä kaksi kelloa ovat synkroniset kolmannen kanssa, niin ne ovat myös keskenään.
Kun näin olemme löytäneet määritelmän samanaikaisuudelle ja tapahtuman ajalle, niin tarkastamme edelleen, mitä tästä seuraa. Otamme yksinkertaisen esimerkin, jonka Einstein on antanut. Kulkekoon radalla M (kuva7) hyvin pitkä juna nopeudella v.

Pisteistä A ja B annetaan valomerkkejä, jotka AB:n keskivälissä O:ssa oleva havainnontekijä toteaa samanaikaisiksi. Olkoon junassa, joka liikkuu nopeudella v B:hen päin, myös havainnontekijä. Pisteitä A, B ja O vastaavat junassa pisteet A', B' ja O'. Sillä hetkellä, jolloin valomerkit annetaan, ovat J:n pisteet M:n vastaavien pisteiden kohdalla. Voidaan siis yhtä hyvin ajatella, että valomerkit lähtevätkin pisteistä A' ja B', koska ne merkinantohetkellä ovat yhtyneinä pisteisiin A ja B. Mutta tarkastelu tapahtumien samanaikaisuudesta A':ssa ja B':ssä on suoritettava määritelmän mukaanpisteessä O'. Nyt on piste O' liikkeessä :hen päin nopeudella v ja kohtaa siis sieltä tulevan valonsäteen hiukan aikaisemmin kuin merkin A':sta. Tapahtumat O':sta arvostellen ovat siis eriaikaisia. Siis: kaksi tapahtumaa, jotka M:ään nähden ovat samanaikaisia, ovat J:hin nähden eriaikaisia, jos J on M:ään nähden liikkeessä. Jos tapahtumat olisivat olleet J:hin nähden samanaikaisia, niin olisivat ne olleet M:ään nähden eriaikaisia. On myös huomattava, että on aivan yhdentekevää, käsitetäänkö M tai J liikkuvaksi toiseen nähden. Aika ei siis ole asoluuttista, vaan suhteellista. Kun siis ilmoitetaan joku aika, niin on samalla ilmoitettava, mihin vertailujärjestelmään nähden se on ajateltava. Vaikka tämä ajatus onkin ensi hetkellä outo meidän totutulle ajattelutavallemme, niin ei siinä kuitenkaan ole pienintäkään teoreettista vaikeutta. Sillä aika samoin kuin avaruuskin on, kuten jo aikaisemmin huomautettiin, vain muoto, skeema, johon meidän on pakko järjestää tapahtumat, jotta ne saisivat objektiivista merkitystä. Tämä järjestely voidaan saavuttaa vain luonnonlakien kokemusperäisen tuntemuksen perusteella. Aika- ja paikkamuutokset esim. taivaankappaleissa voidaan havaita vain valo-opillisten lakien perusteella. Ei ole mitään loogillista mahdottomuutta siinä, että kaksi eri taivaankappaleissa ja siis erilaisessa liikkeessä olevaa havainnontekijää, jotka kumpikin kuvittelevat olevansa levossa, havaitsevat samojen lakien perusteella eri tulokset. Molempien havainnoilla on objektiivinen merkitys, sillä sopivilla transformaatiokaavoilla ne voidaan johtaa toinen toisistaan. Ja jos jonkun on vaikeata käsittää sitä, niin hän voi lohduttautua ensinnäkin sillä, että totuuden ei aina tarvitse olla helppotajuinen ja toiseksi sillä, että tämän uuden aikamääritelmän perusteella selvitetään selvitetään aikaisemmin mainittu ristiriita ja johdetaan uusia tuloksia, joita kokeet vahvistavat.
Mutta ei ainoastaan aika, vaan myös pituudet ovat suhteellisia. Me jätämme tämän asian tarkastelun tällä kertaa suorittamatta, koska siihen palataan yksityiskohtaisemmin tuonnempana. Huomautamme vain lyhyesti, että määrätty pituus näyttää eri pitkältä eri liiketiloissa olevista järjestelmistä arvosteltuna.

5. Ristiriitojen selvitys ja uuden suhteellisuusteorian perustaminen.

Kootkaamme yhteen pääkohdat niistä tuloksista, jotka edellä on johdettu saadaksemme esityksemme kehittymisestä selvän yleiskäsityksen. Me olemme ensinnäkin todenneet, että mekaanisilla ja sähködynaamisilla ilmiöillä ei voi todeta vertailujärjestelmien siirtoliikettä järjestelmän piirissä. Klassillisessa mekaniikassa oli olemassa yksinkertaiset transformaatiokaavat, joista seurasi nopeuksien yhteenlaskuväittämä v = v1 + v2. Tätä nopeusväittämää ei Fizeaun koe noudata ja on sen kanssa myös ristiriidassa laki säteilystä, jonka mukaan säteilyn etenemisnopeus on jokaiseen vertailujärjestelmään nähden c = 300000 km/sek. Edelleen vallitsee ristiriita sähködynaamisten ilmiöiden ja transformaatiokaavojen välillä siten, että kaavat suhteellisuusperiaatteen vallitessa ovat väärät. Lopuksi tultiin siihen tulokseen, että aika ja pituus ovat suhteellisia ja ne on aina ilmoitettava johonkin vertailujärjestelmään nähden.
Tehtävänämme on siis nyt ratkaista ristiriidat ja olemme jo aikaisemmin viitanneetkin, miten siinä on meneteltävä. On etsittävä uudet transformaatiokaavat käyttämällä apuna ajan ja pituuden suhteellisuutta. Täsmällisesti voisimme probleemamme stilisoida esim. näin: tunnetaan koordinaatit (x,y,z,t) järjestelmässä M. Etsi koordinaatit (x',y',z',t') järjestelmässä J, jonka siirtoliikkeen nopeus edelliseen nähden on v, siten, että säteilynopeus kummassakin järjestelmässä on sama. Tämä ratkaistaan Lorentzin mukaan seuraavasti.

Kaavat (4) muodostavat Lorentzin transformaatiokaavat. Suhteellisuusperiaate on nyt näin kuuluva: luonnonlait ovat riippumattomia järjestelmän siirtoliikkeestä, siirtyminen järjestelmästä toiseen tapahtuu Lorentzin transformaatiokaavojen avulla. Tämä lauselma sisältää erikoisen suhteellisuusteorian sisällyksen.
Kaikki ristiriidat järjestyvät nyt aivan itsestään. Säteilyn nopeus on molemmissa järjestelmissä sama. Sillä jos sijoitetaan x = ct yhtälöiden (4) ensimmäiseen ja viimeiseen yhtälöön ja jaetaan siten saadut yhtälöt keskenään, niin tulee x' = ct', joka osoittaa, että säteilynopeus myös järjestelmässä O' ob c.
Miten nyt sitten on pituuksien ja aikojen laita? Olkoon erään mitan pituus 1 järjestelmässä O'. Sen päätepisteet ovat silloin pisteissä x' = 0 ja x' = 0. Seuraa toisiaan vastaavat arvot:

Mitan pituus O:sta näyttää siis lyhyemmältä kuin 1. Jos taas tarkastellaan yksikköjanan pituutta O':sta, niin näyttää se myös vastaavasti lyhentyneeltä. Jos siis 100 cm:n pituinen jana O':ssa näyttää 80 cm:n pituiselta O:sta, niin näyttää samoin 100 cm:n pituinen jana O:ssa 80 cm:n pituiselta O':sta. Liikettä vastaan kohtisuorassa suunnassa ei kuitenkaan tapahdu mitään lyhenemistä.
Vastaavalla tavalla voidaan tarkastella aikoja. Olkoon O':n origossa kello, jonka kaksi perättäistä lyöntiä on aikoina t' = 0 ja t' = 1. Vastaavat ajat O:ssa löydetään silloin transformaatiokaavojen ensimäisen ja neljännen yhtälön perusteella, kun x' = 0,

Aika O:ssa tuntuu siis pitemmältä. Iskut O':sta kuuluvat sitä hitaammilta O:ssa, mitä suurempi on järjestelmien välinen suhteellinen nopeus. Pituus taas näyttää sitä lyhyemmältä toisessa järjestelmässä, mitä enemmän nopeus kasvaa.
Näiden seikkojen havainnollistuttamiseksi ottakaamme joitakin esimerkkejä.
Seuraavassa taulukossa on laskettu, kuinka pitkältä 100 mittayksikköä ja 100 aikayksikköä tuntuu toisesta järjestelmästä arvosteltuina eri nopeuksille.

Jos v olisi suurempi kuin c, niin saisi juurilauseke imaginaarisen arvon. Siitä päätellään, että valon nopeus c = 300000 km/sek. on suurin mahdollinen nopeus. Flammarionin fantastinen olio "Lumen", joka eteni Maasta valon nopeutta suuremmalla nopeudella ja näki menneet tapahtumat päinvastaisessa järjestyksessä, on siis mahdoton. Jos c kasvaisi äärettömän suureksi, niin juurilausekkeet lähenisivät raja-arvoa 1 ja v/c2 raja-arvoa 0. Lorentzin kaavat muuttuisivat silloin galileintransformaatiokaavoiksi. Siitä seikasta, että nopeus v esim. taivaankappaleitten liikkeissä on hyvin pieni verrattuna c:hen, riippuu, että Galilei-Newtonin mekaniikka käytännöllisesti pitää niin hyvin paikkansa.
Mekaniikan nopeuksien yhteenlaskuväittämä tulee muuttumaan, koska liikkeessä olevassa kappaleessa on oma aika- ja pituusmittansa. Junassa olevan henkilön nopeus (kuva 4) Maahan nähden ei enää ole v = v1 + v2, vaan hiukan pienempi

Jos tässä yhteenlaskuväittämässä jompikumpi nopeuksista v1 tai v2 tai molemmat on c, niin myös v = c. Saatu yhtälö on muuten erittäin mielenkiintoinen senvuoksi, että se on voitu kokeellisesti osoittaa oikeaksi Fizeaun kokeella, josta jo edellä mainittiin. Sitä varten on sen v.1914 uudestaan erikoisella tarkkuudella suorittanut hollantilainen Zeeman. Tulos toteutt 1%:n tarkkuudella suhteellisuusteorian nopeusväittämän ja ratkaisi siis suhteellisuusteorian eduksi.
Käyttämällä uusia transformaatiokaavoja häviävät myös vaikeudet sähködynamiikassa. Mikään koordinaatisto ei silloin enää ole erikoisasemassa.

6. Massa ja energia.

Lait aineen ja energian pysyväisyydestä ovat luonnontieteissä olleet kaikkein horjumattomimpia. Huolimatta siitä ei suhteellisuusteoria ole niitäkään voinut jättää rauhaan, vaan on vetänyt nekin piiriinsä ja saavuttanut siten ehkä merkittävimmät tuloksensa. On ensinnäkin huomattu, että jos levossa olevan massan suuruus on m0, niin on nopeydella v järjestelmän suhteen liikkuvan massan suuruus:


Massan suuruus kasvaa siis nopeuden mukana. Tämän vahvistaa saksalaisen Kaufmannin koe elektroneilla, eli sähköhiukkasilla, joilla on hyvin suuri valon nopeutta lähentelevä nopeus. Suhteellisuusteorian mukaan tämä pitää paikkansa kaikille massoille. Tarkastelujen kautta, joissa otaksuttiin, että massan ja energian pysyväisyyslain tuli pitää paikkansa jokaiseen siirtoliikkeessä olevaan järjestelmään nähden, tuli Einstein siihen tulokseen, että massa ja energia ovat toisiaan vastaavia. Energia on "hitautta" ja "hidas" massa on energiaa. Ekvivalenttiset eli vastaavat määrät ilmoitetaan kaavalla m = E/c2, jossa m on massa, E energia ja c valon nopeus; suureet ilmoitetaan cgs-järjestelmässä. Yhtä gramman massaa vastaa siis 9 kertaa 10 potenssiin 20 ergiä. Kappaleen energia voidaan käsittää pieneksi osaksi sen massaa ja päinvastoin massa vastaa hyvin suurta energiamäärää. Energia ja massa ovat siis vain saman suureen eri ilmenemismuotoja. Lause energian ja massan pysyväisyydestä kuuluu siis näin:avaruudessa olevan massan ja energian summa on muuttumaton.
Kun heitämme kiven ilmaan, niin on sen massa liikkeessä ollessaan suurempi kuin Maassa. Jos jonkun vesimäärän temperatuuri kohoaa, niin sen massa kasvaa. Otetaan tästä esimerkki.

On kuitenkin kappaleissa olemassa varasto n.s. latenttista energiaa, johon on vaikea käydä käsiksi. Se esiintyy sinä massana, johon eivät fysikaaliset ja kemialliset voimat pysty, mutta joka radioaktiivisissa ilmiöissä hajaantuu, säilyen osittain massana, muuttuen osittain liike-, sähkö- ja lämpöenergiaksi. Esim. gramma-atomi radiumia (226 g) kehittää vuorokaudessa niin paljon energiaa, että sillä, kokonaan lämmöksi muutettuna, kiehuttaisi 7,3 kg nolla-asteista vettä. Sitä vastaava massan vähennys vuodessa tekee 0,000012 g. Mikä valtava määrä energiaa on siis esim. yksi gramma hiiltä selviää, kun ajatellaan, että se vapautettuna käyttäisi 500 hevosvoiman höyrykonetta yhden vuoden.
Tosiseikkoja, jotka viittaavat massan ja energian yhteenkuuluvaisuuteen, löydämme m.m. atomiteorian alalta. Me tiedämme, että raskaimmat alkuaineet lähettävät kolmenlaisia säteitä, alfa-säteitä, jotka ovat helium-atomeja, beta-säteitä, jotka ovat elektroneja eli negatiivisia sähköhiukkasia ja gamma-säteitä, jotka ovat röntgensäteiden luontoisia. Kun joku alkuaine säteilee alfa-säteitä eli heliumia, niin pienenee sen atomipaino ja se muuttuu uudeksi alkuaineeksi. Painon pieneneminen on 4, joka on heliumin atomipaino. Tämä ei kuitenkaan pidä tarkkaan paikkaansa. Poikkeaminen voidaan ajatella johtuvan siitä, että raskaimmissa alkuaineissa poistuu heliumin ohella energiaa. On näet huomattava, että alfa- ja beta-hiukkasilla on hyvin suuri nopeus, esim. on RaC:ssä alfalla nopeus v = 2000000000 cm/sek. Atomin massa pienenee siis myös energiaa vastaavalla ekvivalenttisella määrällä. Yhden alfa-hiukkasen energian vaikutus atomipainoon on noin 0,01; beta-hiukkasen vain noin kuudestoista osa tästä.
Säteilypaine on mielenkiintoinen tässä mainittava ilmiö. Erikoisessa laitteessa radiometrissä aiheuttaa säteily painetta, joka panee siinä olevan rattaan pyörimään. Siinä siis säteilyenergia vaikuttaa aivan kuin hienon hienot massahiukkaset, jotka pommittaisivat kyseessä olevaa ratasta. Ruotsalainen Arrhenius on osoittanut, että tämä paine voi eräissä tapauksissa voittaa gravitaation ja siirtää hiukkasia pois taivaankappaleelta.
Me muistamme, että kappale toisesta järjestelmästä arvosteltuna näytti lyhyemmältä liikkeen pituussuunnassa ja oli yksikön pituus

Pallomainen kappale, joka liikkuisi valon nopeudella, näyttäisi siis ympyrän muotoiselta levyltä, jonka paksuus on 0. Tässä yhteydessä voidaan huomauttaa, että kysymys säteilyn luonteesta on taas uudelleen joutunut viime vuosina kriitilliseen vaiheeseen. Lukuisat kokeet säteilystä ovat osoittaneet, että valo on aaltoliikettä. Jo 1889 saksalainen Herz sanoi: "me tiedämme, että valo on aaltoliikettä, me tiedämme sen etenemisnopeuden, aaltopituuden ja poikittaisen luonteen. Nämä seikat ovat ehdottoman varmoja, valon aaltoteoria on, inhimillisesti puhuen, totuus." Myöhemmät tutkimukset ovat tätä käsitystä yhä vahvistaneet, röntgen ja gamma.säteillä on pieni, langattoman lennättimen säteillä suuri aaltopituus. Interferenssi-ilmiö esimerkiksi on niin varma todistus eri säteilylajien aaltomaisuudesta, ettei näytä olevan mitään epäilyksen mahdollisuutta aaltoteorian paikkansapitävyydestä.
Ja kuitenkin vuodesta 1900 saakka on saksalaisen Planckin hiukkasteoria järkähtämättömällä varmuudella astunut esiin. On keksitty ilmiöitä, joista käy selville, että säteilyenergia on hiukkasmaista, konsentroituna määrätyn suuruisiksi pieniksi määriksi, joiden muoto kuitenkin vielä on ratkaisematta. Eräs hyvin tavallinen sellainen ilmiö on sekundääristen katodisäteiden syntyminen röntgensäteiden vaikutuksesta.
Monen etevän tutkijan, mainittakoon tässä esim. ranskalainen Poincare´, on ollut pakko voimattomana tunnustaa tämän ristiriidan olemassaolo. Nyt on Einstein yhtynyt myöskin siihen näkökantaan, että säteily on hiukkasmaista.
Tiede on siis toiselta puolen johtanut varmasti aaltoteoriaan ja toiselta puolen hiukkasteoriaan. Toistaiseksi on kysymys syntyneen ristiriidan selvittämisestä avoin.

7. Minkowskin neliulottuvainen maailma.

Olemme pitkin matkaa esityksessämme joutuneet koskettamaan pisteen määräämistä koordinaateilla. Olemme nähneet pisteen aseman olevan määrätyn, kun on ilmoitettu sen etäisyys kolmesta toisiaan vastaan kohtisuorasta tasosta, kun siis siitä on ilmoitettu kolme ulottuvaisuutta. Jos esim. kädessäni on pieni kivi P (kuva 9), niin on sen asema huoneessani ilmoitettu, kun mainitsen, montako cm siitä on permantoon ja kahteen eri seinään, jotka leikkaavat toisiaan.

Kun heitän tämän kiven liikkeelle ja tahdon kuvata syntyneen liikkeen, niin on minun erikoisella lailla ilmoitettava, miten nuo kolme koordinaattia muuttuvat ajan mukana. Tämä tapahtuu matemaattisilla yhtälöillä. Jos esim. kappale putoaa 200 cm korkeudelta, niin pysyvät x ja y muuttumattomina, mutta x noudattaa yhtälöä

z = 200 - 0,5*g*t2

Jos P:n etäisyydet seinistä ovat esim. 50 cm ja 80 cm, niin määräävät yhtälöt

  • x = 50
  • y = 80
  • z = 200-0,5*g*t2
koordinaattien suuruudet eri aikoina. Me näemme, että t näissä yhtälöissä on eri asemassa kuin pisteen etäisyyskoordinaatit. Saksalaisen Minkowskin merkitys on siinä, että hän poisti tämän erikoisaseman. Kun avaruudessa pisteellä P on kolme koordinaattia, niin tapauksella on näiden lisäksi neljäs eli aika. Tapaus "maailmassa" on tarkkaan määrätty, kun tunnetaan sen neljä koordinaattia eli ulottuvaisuutta. Voimme siis sanoa: tapaus on "piste" maailmassa ja sen koordinaatit ovat x, y, z ja t aivan vastaavasti kuin pisteen P koordinaatit ovat x, y ja z.
Saadaksemme merkintään yhdenmukaisuutta me kirjoitamme x:n, y:n ja z:n sijasta x1, x2 ja x3. Lähteköön nyt (kuva10) aikana t = 0 origosta valonsäde ja kulkekoon t sekuntia. Sen kulkema matka on silloin ct ja toiselta puolen

Tämän puhtaasti muodollisen menettelyn kautta voidaan kaikki luonnonlait kirjoittaa suhteellisuusteoriassa säännölliseen muotoon, jossa ei enää (kuten esimerkissämme edellä) aikakoordinaatti ole missään erikoisasemassa.

II. YLEINEN SUHTEELLISUUSTEORIA.

8. Yleinen suhteellisuusteoria

Erikoisessa suhteellisuusteoriassa muodostettiin suhteellisuusperiaate, jonka mukaan luonnonlait olivat riippumattomia vertailujärjestelmän siirtoliikkeestä tai toisin sanoen: mekaanisilla ja sähködynaamisilla ilmiöillä ei voi todeta vertailujärjestelmän siirtoliikettä. On luonnollista, että eteenpäin pyrkivä tiede ei voi tyytyä siihen rajoitukseen, joka tähän sisältyy. Luonnontieteet erittäin ovat aina pyrkineet mahdollisimman yleispäteviin tuloksiin. Kun vertailujärjestelmän tasainen ja suoraviivainen liike on yksinkertainen erikoistapaus, niin herää senvuoksi kysymys suhteellisuusperiaatteesta siinä tapauksessa, että vertailujärjestelmä on esim. tasaisesti kiihtyvässä tai kiertoliikkeessä ja yleensä mielivaltaisessa liikkeessä. Suhteellisuusperiaate tulisi silloin kuulumaan: luonnonlakien esitys on riippumaton vertailujärjestelmän mielivaltaisesta liikkeestä. Tämä on yleinen suhteellisuusperiaate.
Jos ajattelemme Galilein hitauslakia, niin näemme, että jo se synnyttää tässä suhteessa vaikeita ristiriitoja. Kiintotähti liikkuu suunnilleen suoraviivaisesti ja tasaisella nopeudella tähtitaivaaseen (T) nähden, mutta liikkuu Maahan (M) nähden suljettua, ympyrän muotoista rataa. Hitauslaki, joka pitää paikkansa järjestelmään (T) nähden, ei pidä paikkaansa järjestelmään M nähden, joka suorittaa T:hen nähden kiertoliikettä. Yleinen suhteellisuusperiaate näyttää siis kompastuvan jo ensi askelillaan. Me tulemme kuitenkin näkemään, että tämä vaikeus sopivalla tavalla voidaan sivuuttaa.
Erikoisen suhteellisuusteorian yhteydessä kävi selville, että massamäärän energian kasvaminen lisäsi massan hitautta ja että siis energialla myös oli hitautta. Näiden seikkojen sulattaminen mekaniikan yhteyteen synnytti eräitä vaikeuksia. Mekaniikan varmimpia tosiasioita on nimittäin kappaleen hitaan ja painavan massan yhtäsuuruus. Mehän näet mittaamme kappaleen hitaan massan sen painon avulla eli punnitsemme sen. Mutta kappalen paino on ilmoitettu Maan vetovoimaan eli gravitaatiokenttään nähden, hidas massa on taas määritelty huomioonottamatta mitään fysikaalisista tiloista kappaleen ulkopuolella. Mistä silloin johtuu kappaleen hitaan ja painavan massan vastaavaisuus? Tähän ei erikoinen suhteellisuusteoria voi vastata, sillä se ei tunne energian painavuutta, vaikka se väittää sillä olevan hitautta. Kappaleen ei siis välttämättä energian lisäyksestä sen mukaan tarvitse tulla painavammaksi, vaikka sen hitaus kasvaa. Nämä seikat selvittää vasta yleinen suhteellisuusteoria ottamalla gravitaatioilmiöt tarkastelujensa piiriin. Tämä yleinen teoria edellyttää kaksi periaatetta, joita ei aina ole seurattu klassillisessa mekaniikassa. Vaikka tavallaan olemme jo niitä koskettaneet aikaisemmin, niin otamme ne kuitenkin esille, koska niiden täsmällinen ymmärtäminen on seuraavan omaksumiselle välttämätöntä.

9. Kaksi perustavaa periaatetta.

Luonnontieteet edellyttävät kaksi periaatetta, jotka ovat perustana eteenpäin pyrkivälle tutkijalle. Ensimmäinen näistä on n.s. jatkuvaisuuden periaate. Koetamme esimerkillä selvittää, mitä tämä sisältää. Kun Newton esitti kuuluisan vetovoimalakinsa, niin lausui hän siinä, että kaksi kappaletta vetävät toisiaan puoleensa. Hän otaksui siis kahden eri kappaleen matkan päästä vaikuttavan toisiinsa. Fysiikka ei voi hyväksyä tällaista vaikutusta. Millä tavalla vaikuttaisi kappale matkan päähän, ellei ole mitään välittävää siltaa? Jatkuvaisuuden periaatteen mukaisesti kappale vaikuttaa sitä koskettavaan kappaleeseen. Ei ole olemassa siis mitään kaukovaikutusta, ainoastaan kosketusvaikutus. Senvuoksi oltiin pakoitettuja otaksumaan maailmaneetteri, jonka välityksellä kappaleen gravitaatiokenttä vaikutti kappaleeseen.
Jatkuvaisuuden periaatteen matemaattinen puoli ilmenee siinä, että kaikki luonnonlait pitää voida esittää n.s. differentiaaliyhtälöiden avulla. Tämä vaatimus toteutuu, jos luonnonlaille annetaan sellainen muoto, että tämä muoto määrää jonkun paikan fysikaalisen tilan sen läheisimmän ympäristön avulla. Tässä laissa saa senvuoksi esiintyä vain sellaisia etäisyyksiä, jotka ovat äärettömän lähellä toisiaan.
Toinen tärkeä periaate on seuraava: luonnonlakien muodostelussa saa vain sellaisia seikkoja asettaa yhteyteen keskenään, jotka ovat mahdollisia havaita. Me kiinnitimme tähän seikkaan huomiota jo aikakäsitteen esittämisen yhteydessä. Jo Leibniz huomautti tämän periaatteen, jota hän nimitti "principe de l'observabilite´", suuresta merkityksestä. Erään kiistan yhteydessä hän sanoo m.m. "quand il n'y a point de changement observable, il n'y a point de changement du tout." Einstein lausuu samasta asiasta yleistä suhteellisuusteoriaa käsittelevässä teoksessaan "das Kausalitätsgesetz hat nur dann den Sinn einer Aussage über die Erfahrungswelt wenn als Ursachen und Wirkungen letzen Endes nur beobachtbare Tatsachen auftreten." Periaatteesta seuraa, ettei liikkeissä voida puhua absoluuttisesta avaruudesta, koska kaikki liikkeet voidaan havaita vain toisiin kappaleihin nähden. Siitä seuraa, siis suorastaan yleisen suhteellisuusperiaatteen vaatimus, että kaikkien vertailujärjestelmien tulee olla samanarvoisia keskenään. Kun pidämme kiinni tästä fysikaalisen havaitsemisen periaatteesta, niin joudumme aivan klassillisen mekaniikan ensi portailla suuriin vaikeuksiin. Ajatelkaammepa vain hitauslakia: kappale liikkuu itsekseen jätettynä tasaisesti ja suoraviivaisesti. Kun voimme havaita liikkeitä vain toisiin kappaleisiin nähden, niin herää heti kysymys: missä on se vertailujärjestelmä, johonka nähden lain paikkansapitävyyttä tarkastellaan? Jos se on Maa, niin kappale ei liiku suoraviivaisesti eikä tasaisella nopeudella, vaan monimutkaisemmin. Sama on asianlaita kaikkialla. Ei ole olemassa mitään koordinaatistoa, jossa ei olisi olemassa gravitaatiokenttää ja eikä ole siis mitään mahdollisuutta havaita lain todenmukaisuutta. Hitauslaki ei siis tyydytä mainittua toista vaatimusta ja on siis ajattelemalla löydetty kuvitelma ja tässä muodossaan senvuoksi hylättävä. Jo tästä näemme, että meidän yleisessä suhteellisuusteoriassa täytyy kinnittää erikoista huomiota gravitaatiokenttään.

10. Gravitaatiokenttä.

Kun kivi putoaa, niin me käsitämme ilmiön siten, että Maa aiheuttaa ympäristöönsä gravitaatiokentän, joka vaikuttaa kappaleeseen ja pudottaa sen. Gravitaatiokentän vaikutus on eri suuri eri etäisyydellä ja voidaan se laskea määrätyn lain mukaan. Huomattava seikka on, että kaikki kappaleet saavat pudotessaan saman kiihtyväisyyden (ilmattomassa tilassa). Höyhen ja kivi, jotka pudotessaan samalta korkeudelta yhtaikaa,
saapuvat yhtaikaa Maahan. Voidaksemme paremmin syventyä tähän kysymykseen me otamme Einsteinin antaman esimerkin.
Kuvitellaan avaruudessa painoton huone H (kuva 11), joka olisi kaukana kaikista aineista ja siis gravitaatiokentistä.

Erääseen vertailujärjestelmään V nähden, jonka myös otaksutaan olevan gravitaatiokentän vaikutuspiirin ulkopuolella, se liikkuisi suoraviivaisesti ja tasaisesti kiihtyvällä nopeudella, esim. 10 m/(sek*sek) (kuvassa ylöspäin). Tämä liike ajateltaisiin syntyvän siten, että H:n kattoon on kiinnitetty nauha, josta vetämällä joku meille yhdentekevä olio aiheuttaa liikkeen. H:ssa olisi sisällä painoton havainnontekijä painottomine havaintovälineineen ja V:ssä toinen. Tarkastellaanpa nyt, mihin tuloksiin tulevat fyysikot H:ssa ja V:ssä. H tarkastaa kappaletta K, joka liikkeelle lähdettäessä oli V:hen nähden levossa ja joka siis tähän nähden noudattaa Galilein hitauslakia. Hän huomaa, että sillä on huoneen pohjaa vastaan pyrkimys, jonka suuruus on muuttumaton, sillä on paino. Asettaessaan painon K1 nauhan päähän hän toteaa, että nauha jännittyy ja K1 painaa "alaspäin". Mutta V, joka tätä on tarkastellut ulkoapäin, käsittää asian toisin: kappaleella K on hitautta, se pyrkii säilyttämään liiketilansa, joka aiheutuu siitä, että huoneen katossa olevasta nauhasta vedetään. Sama seikka arvostellaan siis painoksi tai hitaudeksi vertailujärjestelmästä riippuen ja gravitaatioilmiöt muuttuvat siis yleisen suhtellisuusteorian liikeilmiöiksi. Ei pidä kuitenkaan luulla, että yleensä voi näin tehdä. Ei esim. voi valita mitään sellaista vertailujärjestelmää, josta arvosteltuna Maan gravitaatiokenttä häviäisi. Se ei kuitenkaan estä yleistä suhteellisuusteoriaa esittämästä sellaisia lakeja, jotka tyydyttävät yleisen gravitaatiokentän vaatimukset.
Me voimme tästä tehdä erään tärkeän uuden johtopäätöksen, joka on kokeellisesti tutkittavissa. Ajatellaan, että valonsäde kulkee (kuva 12) vertailujärjestelmässä V suoraviivaisesti. Miten se suhtautuu järjestelmässä H? Tässä tapahtuu samanlainen liike kuin jos kivi heitetään vaakasuoraan suuntaan. Sinä aikana kun H liikkuu tasaisesti kiihtyvällä nopeudella "ylöspäin", kulkee valonsäde vaakasuoraan vasemmalle.

Sen H:n pintaan piirtämä rata on silloin paraabeli. Kuvassa on esitetty I:ssä tilanne silloin, kun valonsäde kohtaa H:n reunan ja II:ssa hiukan myöhemmin. Valonsäde näyttää siis H:sta nähden taipuneen gravitaatiokentän keskipisteeseen päin. Tämä ilmiö voidaan havaita. Auringon gravitaatiokenttä taivuttaa valonsäteen Auringon pinnassa noin 1,74''. Kun täydellisen auringonpimennyksen aikana (kuva 13) valokuvataan Auringon läheisimmässä ympäristössä olevat tähdet ja verrataan sitä valokuvaan, joka on otettu Auringon ollessa muualla, niin nähdään, että tähdet edellisessä kuvassa ovat kauempana toisistaan, ikäänkuin levinneet. Syynä on se, että Auringon gravitaatiokenttä on taivuttanut valonsäteet ja silmä asettaa tähdet siihen suuntaan, jossa valonsäde viimeksi tulee.

Jo 21.8.1914 tapahtunutta auringonpimennystä varten suunnitteli Einstein retkikunnan, jonka piti Kaukasiassa suorittaa tämän ilmiön tutkimus. Venäläiset kuitenkin vangitsivat retkikunnan jäsenet ja pitivät heidät auringonpimennyksen aikana tyrmässä; vasta v. 1919 onnistuttiin suorittamaan työ.
Jotta havaitseminen voitaisiin suorittaa, niin tulee tähtien olla sopivassa asennossa Aurinkoon nähden täydellisen auringonpimennyksen vallitessa. Tähtien tulee olla mahdollisimman kirkkaita ja lukuisia, niiden tulee olla hyvin likellä Aurinkoa, mutta ei niin likellä, että ne jäävät koronan alle. Sopivin päivä tähän tarkoitukseen on 29. toukotuuta. Onnellinen sattuma oli, että v.1919 oli auringonpimennys juuri mainittuna päivänä. Kaksi Astronomical Royal Societyn lähettämää englantilaista retkikuntaa teki havaintoja, toinen Sobralissa Brasiliassa, toinen Principen saarella Guineanlahdessa. Tuloksena saatiin edellisestä 1,98'' ja jälkimmäisestä 1,61''. Keskiarvo molemmista on noin 1,80''.
Tämän kokeen sitovaisuudesta on huomattava, että jos todella tarkasti voitaisiin olla varmoja siitä, että taipuminen johtuu Auringon gravitaatiokentästä, niin olisi tämä koe vankka todistus Einsteinin teorian puolesta. Nyt on kuitenkin mahdollista, että Auringon ympäristöllä on joku kaasukehä, josta taipuminen seuraa. Pitäisi ensin päästä selville tästä kysymyksestä. Tämä ei liene varsin helppoa, varsinkin kun poikkeus on kovin pieni.

11. Aika ja pituus gravitaatiokentässä.

Meidän tulisi sitten ottaa tutkittavaksemme aika- ja pituuskäsitteitä yleisessä suhteellisuusteoriassa ja erikoisessa gravitaatiokentässä. Tarkastemme sitä varten Einsteinin antamaa esimerkkiä pyörivästä levystä.
Olkoon meillä vertailujärjestelmä V (kuva 14), jossa Galilein hitauslaki pitää paikkansa ja jossa ympyränmuotoinen levy L pyörii tasaisella nopeudella.

Levyllä L olkoon havainnontekijä sivulla keskipisteestä ja järjestelmässä V. Havainnontekijä L tuntee hitauslain perusteella säteen suunnassa ulospäin vaikutuksen, jonka hän voi ajatella gravitaatiokentän ilmaukseksi. Syntynyt kenttä on luonteeltaan sellainen, että sen voimakkuus on keskipisteessä 0 ja kasvaa reunoille päin. Jos L asettaa kellot pisteisiin O ja A ja asettuu itse pisteeseen O, niin toteavat sekä V että L, että A:ssa oleva kello käy hitaammin kuin O:ssa, koska A on liikkeessä O:hon nähden järjestelmässä V. Levyllä ja yleensä siis gravitaatiokentässä käy kello eri nopeasti eri paikoissa ja järkevä ajan määrittely kenttään nähden levossa olevien kellojen avulla on mahdoton.
Mitenkä sitten on pituuden laita? Oletetaan, että havainnontekijä L on levynsä keskipisteessä O ja siis järjestelmään V nähden levossa. Hän tarkastaa, kuinka joku toinen suorittaa miittauksia pitkin halkaisijaa ja kehää asettamalla perättäin hyvin pientä mittaa. Koska kehällä on tangentin suunnassa liike, niin sama mitta näyttää L:stä, joka on O:ssa, lyhyemmältä kuin halkaisijan suuntaan asetettuna. Se sisältyy siis kehään useampia kertoja, kuin mitä euklidisen geometrian mukaan pitäisi. Kehän suhde halkaisijaan ei ole siis pii=3,14..., vaan hiukan suurempi. Mitä kauemmaksi keskipisteestä kuljetaan ja mitä suurempi on nopeus, sitä enemmän poikkeaa kehän ja halkaisijan suhde piistä. Jos levy kiertää jonkun epäkeskisen pisteen ympäri, niin ovat suhteet vieläkin monimutkaisempia, koska kehän eri pisteet kiertävät eri nopeasti. Lopputulos on kuitenkin se, että pyörivällä levyllä ja siis yleensä gravitaatiokentässä euklidinen geometria ei pidä tarkkaan paikkaansa. Suora viiva menettää merkityksensä ja suorakulmaisen koordinaatiston käytämisessä ei enää ole mitään järkeä.
Pyörimisliikkeestä puhuttaessa on huomattava, että yhtä hyvin voidaan ajatella kaikkien ympärillä olevien kappaleiden pyörivän ja levyn pysyvaä paikoillaan. Saksalainen Mach on koettanut osoittaa, että syntynyt sentrifugaalivoima yhtä hyvin voidaan käsittää ympäri kiertävien kappaleiden vetovoiman aiheuttamaksi.
Ensi katsannolla näyttää siis mahdottomalta gravitaatiokentässä määritellä sellaista koordinaattijärjestelmää, jota tässä voitaisiin käyttää. Tässä on kuitenkin onnistuttu ja sanotaan järjestelmää Gaussin koordinaatistoksi keksijänsä nimen mukaan. Näistä ja niiden sovelluttamisesta seuraavassa.

12. Gaussin koordinaatit ja niiden sovelluttaminen.

Ajatellaan jollekin pinnalle vedetyksi järjestelmä käyriä, joita nimitämme u-käyriksi.

Kuvassa 15 on merkitty näistä neljä, u=1, u=2, u=3 ja u=4. Edelleen ajatellaan näiden välissä olevan lukematon määrä käyriä siten, että jokaista lukua vastaa yksi käyrä. Pinta on siis täydellisesti u-käyrien peittämä siten, että jokaisen pisteen kautta kulkee vain yksi u-käyrä ja etteivät u-käyrät kuitenkaan leikkaa toisiaan. Jokaista pistettä pinnalla vastaa siis määrätty u-arvo. Asetetaan sitten pinnalle toinen järjestelmä v-käyriä saman periaatteen mukaan. Jokaista pistettä vastaa siis yksi u- ja yksi v-arvo ja päinvastoin. Näitä lukuja sanotaan pisteen koordinaateiksi. Siten ovat esim. P:n koordinaatit u=2 ja v=1, Q:n koordinaatit u=4 ja v=3.

Olkoon meillä pinnalla kaksi hyvin lähellä toisiaan olevaa pistettä P ja P', joiden koordinaatit ovat (kuva 16) P(u,v) ja P'(u+du,v+dv). Jos väli PP' on ds, niin syntyy kolmiomainen kuvio (kuvassa merkitty vinoilla viivoilla), jossa sivuina on du, dv ja ds. Gaussin mukaan on silloin

g11, g12 ja g22 ovat suureita, jotka määrätyllä tavalla riippuvat u:sta ja v:stä, sanotaan, että suureet g ovat funktioita u:sta ja v:stä.
Me näemme, että Gaussin koordinaatisto ei edellytä mitään euklidista geometriaa. Se on aivan yleinen. Jos euklidisen geometrian vaatimukset täytetään, niin saadaan erikoistapaus, jossa u- ja v-käyrät ovat suoria toisiaan vastaan kohtisuorassa olevia viivoja. Silloin on Pythagoraan teoreeman mukaan

Suuretta ds nimitetään yleensä viivaelementiksi pisteessä P ja on sillä aivan ainutlaatuinen merkitys suhteellisuusteoriassa. Käyttämällä viivaelementtiä täytetään jatkuvaisuuden vaatimus.
Tässä esitetyssä menetelmässä tarkastettiin Gaussin koordinaattien käyttämistä kaksiulottuvaisessa alueessa eli kontinuumissa. Viivaelementti siinä merkitsi kahden hyvin lähellä toisiaan samalla pinnalla olevan pisteen etäisyyttä pintaa pitkin. Vastaavalla tavalla voidaan menetelmää sovelluttaa kolmi- ja neliulottuvaiseen kontinuumiin. Kolmiulottuvaisessa merkitsisi ds kahden läheisen avaruudessa olevan pisteen väliä ja neliulottuvaisessa saksalaisen Riemannin ja Minkowskin tapaan kahden hyvin läheisen tapauksen välimatkaa. Olkoon meillä siis neliulottuvaisessa kontinuumissa pisteet P ja P'. Niiden koordinaatit ovat P(x1,x2,x3,x4) ja P'(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3,x4+dx4) yleensä neliulottuvaisessa kontinuumissa. Voidaan osoittaa, että

Suureet g, joita on 10, ovat riippuvaisia suureista x1,x2,x3 ja x4.

13. Gravitaatioprobleema ja yleinen suhteellisuusteoria.

Käyttämällä löydettyä viivaelementtiä ds neliulottuvaisessa kontinuumissa voidaan hitaus- ja gravitaatioilmiöt sulattaa yhdeksi periaatteeksi, joka myös on yleisen suhteellisuusteorian mukainen. Tämän tehtävän on Einstein täydellisesti ratkaissut.
Jos ajattelemme hitauslakia, niin huomaamme, että sen mukaan kappale kulkee lyhintä tietä, koska euklidisessa geometriassa suora viiva on lyhin tie kahden pisteen välillä. Einsteinin onnistui sovelluttaa tämä sama ajatustapa neliulottuvaiseen kontinuumiin. Jos ajattelemme aluksi kaksiulottuvaista kontinuumia, esim. Maan pintaa, niin voidaan siinä useampia eri teitä kulkea pisteestä toiseen. Eräs n.s. geodeettinen viiva määrää lyhimmän tien. Vastaavalla tavalla laajennetaan geodeettisen viivan käsitettä neliulottuvaiseen kontinuumiin ja löydetään mekaniikan perusyhtälöksi

Tämän ymmärtäminen on tietenkin ei-matemaatikolle mahdoton, mutta häntä ehkä silti huvittaa nähdä, miltä tuo päätulos näyttää; senvuoksi olen mainitun yhtälön esittänyt. Näiden matemaattisten tulosten perusteella kulkee kappale neliulottuvaisessa kontinuumissa "lyhintä" eli geodeettista rataa. Yleinen suhteellisuusperiaate on myös huomioon otettu, koska Gaussin koordinaatit saa valita täysin mielivaltaisesti. Kun siis Maa esim. kiertää Aurinkoa, niin noudattaa se siinä rataa, joka neliulottuvaisessa kontinuumissa muodostaa "suorimman" tien. Karkea vertaus, mutta ehkä asiaa valaiseva on seuraava. Juna ei kulje asemalta toiselle määrättyä rataa pitkin senvuoksi, että joku voima pakottaa sitä pysymään radalla, vaan siksi, että rata on junalle ainoa mahdollinen lyhin tie asemien välillä. On aina muistettava, että tämä kontinuum ei ole euklidinen. Gravitaatiokenttä jollakin tavalla vääntää "maailman" kieroksi. Voimme tätä kuvitella paremmin ajattelemalla jotakin ruudullista paperia, jota tarkastellaan suurennuslasilla. Lasi muuttaa ruudut käyriksi ja sotkee niiden euklidisuuden. Samoin tekee aine. Lähimmässä ympäristössään sen vaikutus on suurempi, kauempana pienempi. Ellei ainetta olisi, niin olisi avaruus euklidinen. Tai kuvitelkaamme epätasaista Man pintaa vastakohtana tasolle. Samoin voidaan matemaattisesti ajatella neliulottuvaista eieuklidista kontinuumia vastineena euklidiselle.
Kun taivaankappaleet avaruudessa liikkuvat ja jokaisella on oma gravitaatiokenttänsä, niin muuttuu siis "maailman" geometria alituisesti. Aikaisemmin luultiin, että oli olemassa maailmassa euklidinen geometria, jonka mukaan ilmiöt tapahtuivat. Riemann oli ensimmäisiä, joka täysin varmasti osoitti, että fysikaalisen kontinuumin geometria voitiin löytää ainoastaan havaintojen ja kokemuksen avulla.
On myös huomattava, että Einsteinin teoria ei pyri selittämään gravitaation olemusta. Se kuvailee vain sitä ilmiönä ja selvittää, kuinka liikkeet tapahtuvat sen vaikutuksesta.

14. Eräitä johtopäätöksiä yleisestä suhteellisuusteoriasta.

Me olemme jo aikaisemmin kiinnittäneet huomiota siihen seikkaan, että valonsäde gravitaatiokentässä muuttaa suuntaansa. Ylensä on asianlaita niin, että valonsäteen nopeus ja suunta gravitaatiokentässä alituisesti muuttuvat. Ainoastaan gravitaatiokentän vaikutuspiirin ulkopuolella on valonsäteellä vakinainen nopeus ja suunta. Kun todellisuudessa kaikkialla on olemassa kappaleita ja siis gravitaatiokenttiä, niin ovat myöskin valonsäteen nopeus ja suunta todellisuudessa muuttuvia. Nämä muutokset ovat verraten pieniä, kuitenkin niin suuria, että ne voidaan havaita. Ilmiötä voidaan siis käyttää yleisen suhteellisuusteorian kokeelliseen todistamiseen. Maan pinnalla suoritettavissa kokeissa voidaan käytännöllisesti valonsäteen nopeutta pitää vakinaisena ja suuntaa suorana. Saksalainen Lenard kiinnittää huomiota siihen seikkaan, että yleisen suhteellisuusteorian kannalta katsoen ei valon nopeuden välttämättä tarvitse olla suurin nopeus. Jos nimittäin kaikki vertailujärjestelmät ovat yhdenarvoisia, niin suorittavat esim. kiintotähdet maakoordinaatistoon nähden pyörimisliikettä, jossa nopeus on suurempi kuin valon nopeus. Valovuoden päässä oleva kiintotähti kulkisi esim. jo 2300 kertaa suuremmalla nopeudella. Tämä kysymys oli keskusteltavana v.1920 luonnontieteilijäin kokouksessa Nauheimissa ja väittää Lenard, ettei Einstein, joka myös oli läsnä, voinut kysymystä tyydyttävästi selittää.
Yleinen suhteellisuusteoria on kyennyt selvittämään erään tähtitieteellisen seikan, jota ei aikaisemmin ole minkään muun teorian avulla onnistuttu tekemään. Jo ranskalaisen Leverrierin ajoista saakka tiedetään, että kiertotähti Merkuriuksen rata suorittaa kiertoliikettä, joka poikkeaa sadassa vuodessa 43'' lasketusta arvosta. Tätä on koetettu selittää uuden planeetan avulla, joka kiertäisi Auringon ympäri Merkuriuksen radan sisäpuolella. Mutta sellaista kiertotähteä ei ole voitu havaita. Einsteinin teorian perusteella löydetään tälle liikkeelle 0,1'' suuruus Merkuriuksen suorittaessa yhden kierroksen. Kun tämän kiertoaika on 88 vuorokautta ja Maan 365,25, niin on liikkeen suuruus vuosisadassa 100*365,25*0,1''/88 = 42''.
Syy siihen, että juuri Merkuriuksessa on havaittu tällainen poikkeus, johtuu siitä, että se liikkuu kiertotähdistä Aurinkoa lähinnä ja siis voimakkaimmassa gravitaatiokentässä. Mainittu poikkeus näet johtuu juuri gravitaatiosta, kun se vaan kyllin tarkkaan otetaan huomioon. Venuksessa on radan soikeus niin pieni, että on vaikea havaita sen radan kiertoliikettä. Saksalainen Seeliger on osoittanut, että poikkeus Merkuriuksen liikkeessä voidaan myös selittää johtuvan Auringon ja Merkuriuksen radan välillä olevista massoista. Näiden massojen suuruus ei ole kovinkaan huomattava. Kun toistaiseksi ei ole voitu todistaa niiden olemattomuutta, päinvastoin löydetään aurinkokunnassa silloin tällöin uusia osasia, niin ei tämä todistus välttämättä ole sitova yleisen suhteellisuusteorian puolesta. Ja jos olisikin niin, niin on huomattava, että yksi esimerkki periaatteen puolesta ei todista sitä, mutta yksi esimerkki sitä vastaan kumoaa sen.
Spektraaliopin alalla on seikkoja, jotka voivat todistaa yleisen suhteellisuusteorian puolesta. Me muistamme, että kello käy eri tavalla eri osissa gravitaatiokenttää. Spektriviivalla on nyt määrätty värähdysluku. Se vastaa siis kelloa. Jos siis tarkastellaan jotakin viivaa esim. Auringosta ja samaa viivaa Maassa olevasta valolähteestä, niin on selvää, että viivan värähtely tapahtuu mainituissa tapauksissa eri nopeasti ja viiva siis näyttäytyy eri paikassa. Siirtyminen on kuitenkin niin pieni, että sitä toistaiseksi on ollut vaikea havaita. Nauheimin luonnontieteilijäin kokouksessa v.1920 tehtiin se huomio, että Bonnin miehet esittivät positiivisia havaintoja, jota vastoin amerikkalaiset tutkijat olivat tulleet negatiivisiin tuloksiin, vaikka heillä oli tarkemmat koneet. Toistaiseksi on siis siirtymisen toteaminen aivan epävarma. Potsdamin uudessa Einsteintornissa on aikomus ratkaista kysymys lopullisesti.
Lopuksi mainittakoon muutama sana avaruuden suuruudesta. Otetaan ensiksi esimerkki kaksiulottuvaisesta maailmasta. Olkoon olemassa pallo, jonka pinnalla elää litteitä kaksiulottuvaisia olioita. Heillä ei ole mitään olemassa pinnan ulkopuolella. He elävät vain pinnassa. Nyt on huomattava, että he kuvittelevat maailmansa rajattomaksi ja siitä huolimatta on sen suuruus äärellinen. Samaan tapaan voimme ajatella kolmi- ja neliulottuvaisessa maailmassa. Einstein tulee siihen tulokseen, että avaruus on äärellinen, mutta sillä ei ole mitään rajoja. Vieläpä hän laskee sellaisen maailman "säteen". Nämä tarkastelut ovat kuitenkin vasta kehityksensä alussa, joten tämä maininta näistä seikoista riittänee.

KÄYTETTYÄ KIRJALLISUUTTA

  • Arrhenius, Svante: Världarnas utveckling. Stockholm 1906.
  • Barnewitz, F.A: Einstein's Relativitätstheorie. Rostock 1920.
  • Beer, Fritz: Die Einsteinsche Relativitätstheorie. Wien und Leibzig 1920.
  • Bohr, N: Abhandlungen über Atombau. Braunschweig 1921.
  • Bonola, Roberto: Die nichteuklidische Geometrie. Leibzig und Berlin 1908.
  • Born, Max: Die Relativitätstheorie Einsteins. Berlin 1921.
  • Cohn, Emil: Physikalisches über Raum und Zeit. Leibzig, Berlin 1920.
  • Cassircr, Ernst: Zur Einstein'schen Relativitätstheorie. Erkenntnistheoretische Betrachtungen. Berlin 1921.
  • Einstein, A: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. Leibzig 1916.
  • Einstein, A. Äther und Relativitäts-theorie. Berlin 1920.
  • Einstein,A: Geometrie und Ehrfahrung. Berlin 1921.
  • Freundlich, Erwin: Die grundlagen der Einsteinischen Gravitationstheorie. Berlin 1920.
  • Gauss, C.F. Allgemeine Flächentheorie. Leibzig 1900.
  • Isenkrahe, C. Zur Elementaranalyse der Relativitätstheorie. Brauschweig 1921.
  • Laue, M.v. Die Relativitätstheorie I Braunschweig 1919.
  • Lenard, P.Über Relativitätsprinzip, Äther, Gravitation. Leibzig 1921.
  • Lodge, Oliver. Der Weltäther. Braunschweig 1911.
  • Lorentz-Einstein-Minkowski. Das Relativitätsprinzip. Leibzig und Berlin 1913.
  • Mach, Ernst. Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Leibzig 1921.
  • Moszkowski, Alexander. Einstein. Berlin 1921-22.
  • Pflüger, A. Das Einsteinsche Relativitätsprinzip. Bonn 1921.
  • Planck, Max. Acht Vorlesungen ü theoretische Physik. Leibzig 1910.
  • Poincaré, Henri. Die neue Mechanik. Leibzig und Berlin 1913.
  • Riemann, B. Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Berlin 1921.
  • Schuster, F. Die moderne theoretische Physik und der Äther. Karlruhe 1913.
  • Sommerfeld, Arnold. Atombau und Spektrallinien. Braunschweig 1921.
  • Weyl, Hermann. Raum, Zeit, Materie. Berlin 1921.
  • Aikakauskirjoja:
    • Annalen der Physik.
    • Comptes Rendus.
    • Journal de Physique.
    • Physikalische Zeitschrift.
    • Proceedings of the Royal Society.
Vieraskielisten sanojen kirjoittamisessa on noudatettu ohjeluetteloa: M. Airila ja K. Cannelin. Vierasperäiset sanat. Helsingissä 1920.